Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Динамика иерархических систем: эволюционное представление" -> 136

Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.

Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление — М.: Мир, 1989. — 490 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikaiearhicheskihsistem1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 187 >> Следующая

приближается к аттрактору. Число степеней свободы понижается в том
смысле, что число независимых переменных, присущих движению, становится
гораздо меньше числа независимых переменных, необходимых для задания
произвольного начального условия. Разность между евклидовой размерностью
пространства состояний, в которое погружена интересующая нас динамическая
система, и информационная размерность аттрактора, характеризует, грубо
говоря, среднюю степень создаваемого аттрактором сжатия.
Для простых аттракторов определение и исследование информационной
размерности тривиально. Например, стационарное, не зависящее от времени
состояние равновесия (стационарное состояние) имеет размерность 0,
устойчивые периодические колебания (предельный цикл) - размерность 1, 2-
тор - размерность 2. В этих простых случаях размерность принимает
целочисленные значения. В случае странных аттракторов это не так.
Чтобы по достоинству оценить свойства странного аттрактора, нам
необходимо принять во внимание не только само множество, но и
распределение или плотность точек на аттракторе. (Дело в том, что на
любом заданном уровне точности большая часть информации о начальных
условиях утрачивается за конечное время Т, которое мы вычислили в разд.
6.3.5. При временах, больших Т, знание будущего ограничено информацией,
содержащейся в распределении вероятности точек на аттракторе.)
6.4.1. Понятие информационной размерности
Понятие информационной размерности тесно связано с процессом измерения.
Рассмотрим измерительный прибор с равномерной шкалой и ценой деления е
(разрешающей способностью). Измерение любой из N переменных таким
прибором дает одно из 1 /е возможных чисел. Если по одному такому
измерительному прибору использовать для измерения каждой из N переменных
нашей динамической системы, то квантованность шкал всех N приборов
приведет к разбиению пространства состояний, т.е. к некоторому набору
непустых непересекающихся
366
Глава 6
измеримых "гиперкубов" (двумерную проекцию такого набора см. на рис.
6.22). Область пространства состояний, содержащая аттрактор, оказывается
разделенной на e_JV клеток, или ячеек, каждая из которых имеет размер N.
Совокупность этих ячеек образует разбиение, и каждое измеримое состояние
соответствует какой-то ячейке. Пусть п(е) -число ячеек, покрывающих
аттрактор с ненулевой вероятностью (т. е. содержащих по крайней мере одну
точку аттрактора). Некоторые ячейки будут содержать больше точек, чем
другие, так как в некоторых областях пространства состояний поток бывает
чаще, чем в других.
Рис. 6.22. Примерный вид двумерного разбиения аттрактора на "ящики"
(квадраты) в пространстве состояний.
"Естественная мера" данной области пропорциональна частоте, с которой
попадает в нее поток. Следуя Фармеру [6.14], определим Pi(e) как
"плотность вероятности" того, что аттрактор окажется в i-й ячейке1).
Совокупность вероятностей {/Ms)} называется "грубым", или
"крупнозернистым" распределением вероятности прн разрешающей способности
е. Среднее количе-
В случае детерминистических систем использование слова "вероятность"
требует известной осторожности [6.14]. Для каждого куба С на аттракторе и
начального условия х определим величину |х(х,С) как долю времени, которую
траектория, выходящая из х, проводит в С. Если каждое начальное условие х
приводит к одной и той же величине ц(х, С), то мы называем это общее
значение ц(С) естественной "мерой" аттрактора. Она дает относительную
вероятность попадания в различные области аттрактора как средние по
времени. Мера множества С есть интеграл от плотности на С, т, е.
ц(С)= J Р(ж) dx.
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
367
ство информации, содержащееся в отдельном измерении, производимом с
разрешающей способностью е, равно
п(е |
/(е) = - Z Pi (е) log2 Pt (е) [бит]. (6.4.1)
I = 1
При уменьшении е (повышении разрешающей способности) число ячеек
возрастает, и мы получаем последовательность все более тонких, все более
"мелкозернистых" распределений вероятности. Информационная размерность Di
есть скорость увеличения количества информации при увеличении точности
измерения:
Д = ПтГ /(е) 1. (6.4.2)
1 е^о L 1 log2 е | J v '
Из формулы (6.4.2) видно, что D/ определяется асимптотическим значением
углового коэффициента графика 1(e) в зависимости от log2(l/e).
Таким образом, если информационная размерность аттрактора известна, то
количество информации 1(e), содержащееся в одном измерении состояния,
производимом с разрешающей способностью е, оценивается величиной
I(e) = D, |log2e|. (6.4.3)
Если вероятность всех ячеек в разбиении равна, то
/(e) = log2ra(e), (6.4.4)
и информационная размерность достигает своего максимума, когда совпадает
с фрактальной размерностью
п ijm 16 4
^ е(tm) log2d/e) ' (Ь-4'5)
Таким образом, фрактальная размерность есть верхняя граница
информационной размерности.
Разумеется, на практике разрешающую способность е ограничивает уровень
внутренних флуктуаций в системе и в измерительном п'риборе, объединяемый
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed