Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Динамика иерархических систем: эволюционное представление" -> 122

Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.

Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление — М.: Мир, 1989. — 490 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikaiearhicheskihsistem1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 187 >> Следующая

^ = fdx" х2, х3; (i),
^r = h(Xu Х2, Xs, ц),
(6.2.2)
действуя при этом так же, как в разд. 2.2 при рассмотрении двумерной
системы.
Первый шаг в нашем анализе - исследование на устойчивость в линейном
приближении стационарных состояний Х\> т. е. исследование собственных
значений матрицы взаимодействия
где а,7 = (dfi/dXj)
Характеристическое уравнение в трехмерном случае будет кубическим,
поэтому собственные значения матрицы А могут быть либо все три
вещественными, либо одно вещественным и два комплексно-сопряженными.
Собственный вектор, т. е. решение системы дифференциальных уравнений,
можно представить в виде линейной суперпозиции
где Xi ¦-собственные значения матрицы А, т. е. решения
характеристического уравнения, с,- - постоянные интегрирования, т. е.
числа, зависящие от начальных условий, a Xi - решения линеаризованной
системы
Попытаемся теперь классифицировать возможные категории особенностей.
Случай А. Все собственные значения вещественны и отрицательны. В этом
случае мы имеем устойчивое стационарное состояние, которое является
аттрактором в трехмерном пространстве состояний. (Если все собственные
значения веще-
-аи а12 а13-
А = а2[ а22 а23
- "31 "32 "зз -
з
ЕМ
с{хье ' ,
(6.2.3)
(<Хц - X) Х\ -f- "i2x2 -f- 013X3 = О, "21*1 ~Ь ("22 - X) х2-\- а23х3 = О,
"31*1 + "32*2 + ("33 *3 = 0.
(6.2.4)
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
329
ственны и положительны, то мы просто получаем неустойчивое стационарное
состояние - так называемый репеллер.)
Случай Б. Все собственные значения вещественны, два из них отрицательны
(например, Ai и А2), а третье (Аз) положительно. В этом случае мы имеем
стационарное состояние, которое притягивает все траектории в плоскости
{х\, х2) и отталкивает их вдоль оси хз. Это - (трехмерная) седловая
точка.
Случай В. Одно собственное значение вещественно и отрицательно (например,
А3 < 0), а А-, А2 - комплексно-сопряженные с отрицательными вещественными
частями. В этом случае в одном подпространстве (на плоскости {х\, х2))
особая точка ведет себя как устойчивый фокус. В направлении оси х3
траектории спиралями приближаются к фокусу до уровня плоскости {х\, х2)
по поверхности либо параболоида с осью х3 в качестве оси симметрии
(случай 0 > Re{Ai, А2} > А3), либо "вогнутого" конуса с осью х3 в
качестве оси симметрии (случай Re{Ai, А2} С < Аз < 0). Если вещественные
части всех собственных значений положительны, то мы получаем неустойчивый
фокус на плоскости {Х\,Х2).
Случай Г. Одно собственное значение вещественно и положительно (например,
А3 > 0), a Ai, А2 - комплексно-сопряженные с отрицательными вещественными
частями. Это более интересный случай. Как и в случае В, особая точка
ведет себя на плоскости {х\,х2) как устойчивый фокус, но в отличие от
предыдущего случая, так как теперь А3 > 0, траектория в трехмерном
пространстве не "спускается" по спирали, сходящейся к фокусу, а уходит от
фокуса, как показано на рис. 6.9. Такую особенность принято называть
седло-фокус.
Еще более интересный случай возникает, если поменять знаки собственных
значений, т. е. если А3 < 0 и Re{Ai, А2} > 0. В этом случае мы опять
получаем условия, приводящие (в двумерном пространстве состояний (х\,х2))
к бифуркации Хопфа - переходу от неустойчивого фокуса к устойчивому
предельному циклу.
Сказанное до сих пор просто (и прямолинейно) обобщает на трехмерное
пространство состояний то, что нам уже известно из двумерной теории,
изложенной в гл. 2. Попытаемся теперь исследовать возможность
существования аттракторов, присущих только динамике в трехмерном
пространстве состояний и не имеющих аналогов на плоскости. Первое, что
приходит в голову, - исследовать возможность существования двумерных
притягивающих торов (неизбежно "иррациональных", так как вероятность
случайно выбрать две частоты "г"1 и со2 с иррациональным отношением
гораздо больше, чем вероятность попасть
330
Глава 6
на частоты с рациональным отношением cdi/cd2 = п/т, где п, т - целые
числа). Напомним, что в этом случае траектория на поверхности тора
(гамильтонова или негамильтонова) квази-периодическая, т. е. открытая и
всюду плотная, и, следова-
тельно, эргодическая. Диссипативный нелинейный осциллятор с основной
частотой toi, на который действует внешняя периодическая вынуждающая сила
с частотой со2, - пример системы
с тремя степенями свободы, т. е. системы, обладающей траекторией в
трехмерном пространстве состояний. Если у такого осциллятора в свободном
режиме (без воздействия вынуждающей силы) имеется предельный цикл с
основной частотой toi, то можно представить себе соответствующий 2-тор
(рис. 6.10), поблизости от которого нет другого тора, ни вложенного в
него, ни объемлющего его. Этот тор является аттрактором в трехмерном
пространстве состояний. В сечении Пуанкаре этого тора мы получим
предельный цикл.
Как возникает такой трехмерный тор при бифуркации? Проследить за его
эволюцией шаг за шагом весьма поучительно.
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed