Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
колебаний, называется сепаратрисой. Сепаратрисе принадлежат и А-образные,
или седловые, точки, которые соответствуют неустойчивому равновесию
маятника в верхнем вертикальном положении. Это простейший случай, когда
период колебательного движения изменяется от траектории к траектории и
стремится
Стохастичность: хаос и странные аттракторы 319
к бесконечности (т. е. движение становится апериодическим) при
приближении к сепаратрисе.
Обратимся теперь к двухкомпонентной системе, т. е. к двумерному
осциллятору - простой системе с гармоническим движением. Ее гамильтониан
имеет вид
2
" = + "!)¦ <е.1.з)
г = 1
Амплитуды двух осцилляторов А и В - инварианты движения и могут быть
записаны в виде
A = + в = -^л/р1 + (r)1с122- (6Л-4)
Траектория системы лежит на пересечении двух поверхностей А = Q и В = С2
(это пересечение является двумерным тором),
поэтому, если значения постоянных С1 и С2 известны, то траектория
находится в ограниченной области (четырехмерного) пространства состояний.
В зависимости от значений Си С2 траектории располагаются на семействе 2-
торов, вложенных друг в друга в фазовом пространстве. Эти торы -
инвариантные поверхности нашей системы. Если отношение частот toi/o>2
рационально, то орбиты после нескольких витков на торе замыкаются
(периодические).
Если отношение частот о)i/(c)2 иррационально, то траектория системы
покрывает тор эргодически, т. е. образует не только открытое, но и всюду
плотное множество на торе в том смысле, что, если подождать достаточно
долго, то траектория на торе по крайней мере один раз пройдет сколь
угодно близко от любой заданной точки.
320
Глава 6
Что произойдет, если в столь простую систему ввести слабое возмущение?
Чтобы ответить на этот вопрос, запишем гамильтониан нашей двумерной
системы в общем виде
н = ^(р21 + р1)+ V (qv q2) (6.1.5)
и, следуя знаменитому численному примеру Хенона и Хейлеса [6.3],
предположим, что нашу систему можно моделировать частицей, движущейся в
потенциале
V (<7р <7г) = Y (Ч\ + Я1) + ~ Т <7г- (6Л-6)
Нетрудно видеть, что при малых значениях qu q2 движение вокруг точки
равновесия (0, 0) выглядит, как простое двумерное гармоническое движение.
Но при увеличении амплитуды колебаний главными становятся кубические
члены, и движение на плоскости (qi, q2)
происходит по треугольной траектории (рис. 6.2). Хенон и Хейлес провели
численные расчеты траекторий движения в потенциале (6.1.6).
Трудности наглядного представления орбит в четырехмерном пространстве
состояний могут быть преодолены, если выполнить следующие условия.
а) Сосредоточить внимание на траекториях, соответствующих некоторой
заданной полной энергии Но, т. е. H(quq2, ри р2) = Н0. Это позволяет
исключить одну переменную, например ри и свести систему к системе с тремя
степенями свободы qu <72, р2-
б) Рассматривать не трехмерную траекторию, а ее пересечение с
какой-нибудь плоскостью, например с плоскостью
<7i = 0.
Если движение ограничено и все траектории заключены в некоторой замкнутой
области, то любая траектория системы многократно "обегает" замкнутую
область, пересекая плоскость <7i = 0. "Протыкание" (плоской) поверхности
траекторией в пространстве состояний называется "отображением Пуанкаре" и
соответствует переходу от аналогового описания к цифровому описанию. На
рис. 6.3, заимствованном из работы Хенона -
Рис. 6.2. Эквипотенциальные линии для примеров Хенона - Хейлеса
возмущенной системы двух осцилляторов. Обобщенные координаты двух
осцилляторов - <7ь <72; Vu Е2 - два значения потенциальной функции.
Стохастичность: хаос и странные аттракторы
321
Хейлеса, показаны последовательные точки пересечения траектории системы с
плоскостью qi = 0.
Со временем эти точки пересечения сливаются в замкнутую инвариантную
кривую. Таким образом, траектории задают на плоскости <7i = 0
однопараметрическое семейство замкнутых кривых - сечений инвариантных
торов. Следовательно, вычисляя траектории при любом заданном значении
энергии нашей
0,2
42
-0,2
1------------1------------1------------1-------------1------------г
1 . I -I______________J_____________I_____________L
0 0,2 0,4
Чз
Рис. 6.3. Последовательные точки, в которых орбита системы Хенона -
Хейлеса пересекает плоскость q2, q2 (по работе [6.4]).
простой системы и вычерчивая пересечения траекторий с плоскостью q\ - 0,
мы получаем возможность проследить в двумерном пространстве поведение
динамической системы с четырехмерным фазовым портретом. Хенон и Хейлес
построили отображение Пуанкаре для своей системы в широком диапазоне
значений энергии. Об удивительных и неожиданных результатах, которые они
получили, и пойдет речь в этом разделе.
На рис. 6.4 снова показано отображение Пуанкаре при Но = 0,083 для всего
семейства интегральных кривых. Вся область фазового пространства,
доступная для системы с заданной энергией Н0, оказывается заполненной
инвариантными кривыми весьма сложной формы. Напомним, что в отсутствие
кубических членов в потенциале сечение было бы заполнено концентрическими
