Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
число. Поэтому мы заменим в уравнении для itс индекс К на XN и рассмотрим
непрерывную переменную X. Нас интересуют значения X, при которых
= 0.
Имеем
2N[l -(l + l~XN = 0,
или
X = 2-2(l -Lf" +-L. (5.8.16)
При очень больших N (Nоо) мы можем считать, что 1 /Л^ - 0, [1- (1/Л/)]* ~
1/е. Тогда
А,0 = 2[1-е-Ч (5.8.17)
т. е.
А0~ 1,594.
Следовательно, при больших N слух "вымирает" после примерно t - XoN-
1,594А7 "телефонных звонков" из коммуны типа I. Кроме того, так как
/Л/ __ 1\ hN
SkN = N (-V-) ~ Ne~ 0.238JV,
когда слух перестает циркулировать, около 23,8 % коммун могут утверждать,
что они "ничего не знали об этом".
6
Стохастичность, обусловленная детерминистической динамикой в пространстве
трех и более измерений: хаос и странные аттракторы
6.1. Переоценка классической статистической механики.
Теорема Колмогорова-Арнольда-Мозера
В гл. 2 этой книги мы упоминали о данных, подтверждающих наблюдаемую
совместимость производства энтропии, прогрессирующей дифференциации,
возрастания сложности и возникновения свойств самоорганизации в
крупномасштабных системах. Как мы уже говорили, эти свойства
самоорганизации связаны со способностью системы моделировать не только
окружающую среду, но и части самой себя. В свою очередь моделирование
рассматривалось нами как акт сжатия информации, получаемой из окружающей
среды, и последующего использования этой сжатой информации в качестве
входа, или "программы", в "автомате с конечным числом состояний, выдающем
на выходе временную эволюцию, или "сценарий", рассматриваемого явления.
Исследуем теперь более подробно, каким образом могла бы осуществляться
динамически (по крайней мере на теоретическом уровне) процедура
самоорганизации, или сжатия информации. Вопрос этот существенно связан со
свойствами аттракторов в многомерном пространстве. Чтобы исследовать эти
свойства, нам придется несколько отвлечься и рассмотреть на весьма
элементарном уровне некоторые из достигнутых в последнее время успехов в
области классической (статистической) механики. Речь пойдет главным
образом о характере "распространения" траектории многокомпонентной
динамической системы в пространстве состояний.
Прежде всего напомним, что условие идеальной эргодичности и
перемешивания(или "молекулярного хаоса"), которое выполняется (пока)
только для идеального консервативного газа Больцмана, который из любого
начального состояния стремится к равновесию. Лет тридцать назад
считалось, что и любая достаточно сложная консервативная система будет
вести себя так же. В частности, предполагалось, что боль-
*> Система называется системой с перемешиванием, если информация о
начальных условиях полностью утрачивается. "Забывание" начальных условий
может происходить либо через каскад столкновений, либо через каскад
итераций. Подчеркнем параллелизм между физической системой (идеальный
газ) и символической системой (алгоритм).
318
Глава 6
шая система осцилляторов с нелинейными взаимодействиями будет стремиться
к равновесному состоянию, в котором должно-наблюдаться равнораспределение
энергии по степеням свободы. Кроме того, предполагалось, что движение в
пространстве состояний таких сложных систем будет эргодическим. В 1957 г.
А. Н. Колмогоров сообщил [6.1] (подробнее см. в этом разделе ниже) о том,
что нелинейно возмущенные двухкомпонентные колебательные системы (с
четырьмя степенями свободы) могут иметь в пространстве состояний
инвариантные торы. Это означало, что никакой эргодичности в таких
системах быть не может. Ферми и др. исследовали в 1955 г. [6.2] систему,
состоящую из большого числа (до N = 64) связанных осцилляторов, но не
обнаружили тенденции к равнораспределению энергии.
Наоборот, как мы увидим ниже, малое возмущение даже интегрируемой
двухкомпонентной гамильтоновой системы приводит к полному перерождению
характера решения, т. е. траектории (в четырехмерном) пространстве
состояний системы. Невозмущенное движение регулярно. После возмущения в-
пространстве состояний остаются области, где движение по-прежнему
регулярно, резко отделенные от областей сильно нерегулярного
("хаотического") движения.
Начнем, как и прежде, с рассмотрения одного нелинейного маятника. На
языке гамильтоновой механики можно сказать, что в этом случае имеется
одна "обобщенная координата" q (угол, образуемый маятником с вертикалью)
и одна компонента импульса р. Гамильтониан, т. е. полная энергия системы,
приходящаяся на единицу массы, равна
Я = -у- - (у) cos q, (6.1.1)
где I - длина маятника. Уравнения движения имеют вид
q = p, р = - (у) sin q. (6.1.2)
Они решаются в эллиптических функциях. Поток в фазовом пространстве
показан на рис. 6.1.
При малых отклонениях в окрестности начала координат поведение выглядит
как простое гармоническое движение с частотой колебаний д/g/l. Но при
больших р движение переходит во вращение с координатой q, неограниченно
возрастающей со временем. Кривая, отделяющая область вращений от области
