Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
посылающая вызов, становится коммуной типа R. Коммуна, принимающая вызов,
остается коммуной той же категории, которой она принадлежала перед
телефонным разговором.
4) Вызовы, поступающие от коммун типа S или R, не влияют на
распространение слухов (такие вызовы не имеют смысла).
В силу условия 4 необходимо рассматривать только вызовы, удовлетворяющие
условиям 2 и 3: все вызовы, изменяющие состояние системы, поступают из
коммун типа I.
Пусть s(t), i(t) и r(t) - число коммун типа S, I и R в дискретные моменты
времени t. Определим вектор состояния
Р(0 = И0, i(t), r(t)).
(5.8.1)
Элементы теории игр
313
При t = 0 выполняется условие
P(0) = (M, 1, 0). (5.8.2)
Первый вызов, изменяющий состояние системы, поступает от одной коммуны
типа /, которой слух известен и которая вызывает по телефону оду из N
коммун типа S. Таким образом,
P(1) = (JV-1, 2, 0). (5.8.3)
Начиная с этого момента существуют два различных типа вызовов, которые
изменяют состояние системы: (а) одна из двух коммун типа / вызывает одну
из N- 1 коммун типа S или (б) одна из двух коммун типа I вызывает другую
коммуну типа I. Поэтому, начиная с t ^ 2, состояние системы становится
неопределенным.
Вместо того чтобы исследовать вероятности всех возможных различных
исходов, мы изучим эволюцию их математического ожидания, т. е. заменим
вычисление случайной переменной вычислением секвенциально обусловленных
математических ожиданий этой переменной Р.
Такая процедура неявно предполагает, что математическое ожидание нашей
случайной переменной Р позволяет судить об истинном поведении системы.
Здесь уместно немного отвлечься и привести контрпример, т. е. рассмотреть
случай, когда среднее случайного процесса служит ошибочной оценкой его
истинного поведения.
Пусть X - случайная переменная, которая может принимать только два
значения:
Р(Х = №) = ±,
Р(Х = 0)=^-•
Математическое ожидание (среднее) этого процесса равно
E(X) = N2±+0^± = N,
поэтому при N-+оо математическое ожидание Е(Х) неограниченно возрастает,
хотя вероятность того, что X =0, стремится к единице.
Вычислим дисперсию D(X) =Е(Х2) - Е2(Х) случайного процесса X. Так как
E(X2) = N*±+0^^± = N3,
дисперсия оказывается равной
D(X) = N3-N2 = N2{N - 1),
314
Глава 5
а стандартное отклонение N^fN-1 при Nоо возрастает быстрее, чем
математическое ожидание. Когда так происходит, математическое ожидание
ничего не говорит о системе. Необходимо оценивать дисперсию, а для этого
требуется вычислить вероятности для случайной переменной. Следовательно,
строго говоря, невозможно оценить точность нашей модели, хотя приведенный
здесь метод существенно упрощает математические вычисления.
Но вернемся к нашим вычислениям. При t = 2
P2 = ?(P(f = 2)) = (S2, h, г2), (5.8.4)
а при t = К(=3, 4, ...)
P*=?(P(/ = /()|P(/ = /(-1) = Pk-i) = (Sk, iK, rK). (5.8.5)
Иначе говоря, мы пытаемся вычислить вектор Р* рекур-рентно, предполагая,
что нам известен истинный вектор Рк-ь в то время как мы знаем его
математическое ожидание Рк-ь Выведем рекуррентное соотношение. Для этого
будем считать известным, что при t = К- 1
Рд-i = (^к-ь бс-1. гк~i)- (5.8.6)
Тогда истинное состояние Р (t = К) есть либо
(Sk- 1 - 1" г'х-1 + 1, гк~i)> (5.8.7)
либо
(5/f_j, Ik~i U Hc-i + 1)> (5.8.8)
где первая вероятность относится к случаю, когда коммуна типа / вызывает
по телефону коммуну типа 5 (что происходит с вероятностью SK~\/N), а
вторая вероятность относится к случаю, когда коммуна типа I вызывает либо
коммуну типа /, либо коммуну типа R [что происходит с вероятностью (N -
SK-i)/N], Следовательно, две первые компоненты вектора Р* равны
Sr= KN~l- (Sk-i ~ 1) Н д,- '-Sk-i = д? (5.8.9)
*к = + 1) Н-----jjK~L(iK-i - U = гк-1 + JfSK-1 - !•
(5.8.10)
Попытаемся теперь удовлетворить двум рекуррентным соотношениям (5.8.9) и
(5.8.10), т. е. решить системы связанных линейных разностных уравнений.
Элементы теории игр
315
Начнем с уравнения (5.8.9). Оно решается по индукции:
так как 50 = N.
Рассмотрим теперь уравнение (5.8.10). Оно также решается по индукции:
/* = 2Лф -(1 К =0,1,2............. (5.8.14)
Таким образом, при любом N мы можем оценить эволюцию слухов во времени.
Остается исследовать очень важный вопрос о том, как далеко
распространяются слухи. Ясно, что слух перестает распространяться после
того, как не останется ни одной коммуны типа /, до которой он еще не
дошел. Следовательно, ответ на
(5.8.11)
(5.8.12)
Суммируя все К уравнений, получаем
Д-1
(5.8.13)
1=о
Наконец, вспоминая, что t0 = 1 и
Д-1
приходим к соотношению
Из выражений для SK и iK, гк следует формула гк - N + 1 - Sx - г'д-
(5.8.15)
316
Глава 5
наш вопрос дает число (или процентная доля) коммун типа 5, которые еще не
охвачены слухом после того, как не останется ни одной коммуны типа I. Его
(или ее) мы узнаем, вычислив значение К, при котором iK = 0.
Так как значение iK в приведенных выше вычислениях не обязательно должно
быть целым, может случиться так, что tv > о и fv+1 <0, где v - целое
