Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
308
Глава 5
мая усилиями игроков, движется от точки (х*,у*), то равновесие
неустойчиво.
Предположим, что р > q, т. е. оптимальная линия игрока X имеет больший
наклон. Движение точки (х, у) можно представить себе следующим образом.
Поскольку одна координата остается стационарной, игрок, управляющий
другой координатой, "загоняет" точку (х, у) на свою собственную
оптимальную линию. После этого его координата остается стационарной, а
другой игрок делает то же самое.
Пусть игрок X выбирает некоторое значение х(1>- возмущение относительно
точки равновесия (х*,у*). Следуя уравнениям (5.7.4), (5.7.5), игрок У
переходит к значению г/(1), такому, что точка (лг(1\ г/(1)) лежит на его
кривой уг{х)\ иначе говоря, два первых хода приводят к точке лг(1>, г/2
(-^(I>) - Затем игрок X снова выбирает значение хс таким расчетом, чтобы
перевести точку на свою оптимальную линию у\{х). Это значение
соответствует пересечению горизонтальной прямой у = y2{xw) с у\(х) и
приближенно равно
^ ^Ц^х^\ (5.7.7)
у\ (0) у\ (0)
где у[ (0), у'2{0)- значения производных двух прямых в окрестности
стационарного состояния.
Тогда
I *(2> I < I Х<" I,
или
I Х<2) | > I хб) |
в зависимости от того, какое из двух неравенств выполняется: | У2 (°) | <
| У[ (°) | (Р>Я)
или
|^(°)|>|^(°)| (р<я)-
Таким образом, равновесие устойчиво, только если p>q\ при p = q = 1/2 мы
имеем нейтральную устойчивость. Такая устойчивость возникает в тех
случаях, когда каждый игрок полагается больше на свои силы, чем на усилия
партнера, т. е. каждый оставляет себе большую часть своей собственной
продукции и обменивает меньшую часть.
Что происходит в случае неустойчивости, т. е. при р < q? В этом случае
точка "производства" заканчивает свой путь либо на горизонтальной, либо
на вертикальной оси. Если конечное состояние оказывается на
горизонтальной оси, то У не работает; он "паразитирует" на X. Если
конечное состояние ле-
Элементы теории игр
309
жит на вертикальной оси, то паразитирует X. Любой из этих случаев
возможен в отсутствие устойчивости, так как малейшее возмущение нарушает
равновесие. Кто именно из игроков паразитирует на партнере, зависит от
направления начального возмущения. Тот, кто первым ослабит свои усилия,
станет паразитом. Связано это с тем, что в неустойчивом случае всякое
ослабление усилий со стороны одного партнера немедленно компенсируется
другим партнером и тем самым способствует дальнейшему ослаблению усилий
со стороны первого партнера. (Разумеется, роли игроков X и У легко
меняются; устойчивость связана с большим наклоном оптимальной прямой
игрока X лишь по той причине, что мы так обозначили координаты.)
Предположим теперь, что существует устойчивое равновесие. Какая
полезность достается X и У в этом режиме? Подставляя значения х* = У* =
(р/Р) - 1 в выражения (5.7.2, задающие размеры выигрыша, получаем
(GJ* = ln(p/p)-p + p,
(GyY = In (р/Р) Р + Р- ( '
Проверим, являются ли значения (5.7.8) "оптимумами", т. е. представляют
ли они (для обоих партнеров) наибольший выигрыш, который те могут
получить в рассматриваемых условиях.
Прежде всего заметим, что максимальное производство определяется для
каждого партнера не стационарными значениями х* и у*, а максимальными
значениями этих выражений, равными (1/(3)- 1. Поэтому соответствующие
полезности равны In (1 /р)- 1 + р. Что можно сказать об этих значениях:
больше они или меньше, чем (Gx) * = (Gy) *? Вычислим их разности:
1п(| )-!-ln(f) + P = ln (7) - 1 + р = 1п (тО - (1 ~ р)-
(5.7.9)
Это выражение всегда неотрицательно (и обращается в нуль при р = 1). Так
мы приходим к выводу о том, что оба партнера могли бы получить больший
выигрыш, если бы производили (1/Р)-1, а не (р/Р)-1 (единственное
исключение составляет случай, когда р = 1 и обе производительности
совпадают, но р = 1 означает, что вся продукция остается у производителя,
поэтому мы не будем рассматривать в дальнейшем этот частный случай).
Мы видим, что точка равновесия, даже если она устойчива, не оптимальна ни
для одного из партнеров, хотя каждый из них извлекает наибольший выигрыш
в стационарной точке при условии, что конкурент также извлекает
наибольший выигрыш. Что действительно в данном случае, так это динамика
чисто эгои-
310
Глава 5
стических интересов. Каждый производитель обеспокоен только своей
полезностью (по отношению к полезности партнера).
Прежде чем предлагать (и испытывать) более "социально ориентированную"
философию, вычислим в случае неустойчивости полезность "паразита" и его
"хозяина". Пусть X-паразит. Тогда X ничего не производит, а хозяин У
должен строить свою деятельность с учетом этого обстоятельства.
Оптимальная линия хозяина определяется уравнением qxру = (р/Р)-1. Но так
как х = О, У должен производить столько, чтобы удовлетворить уравнению ру
= (р/$)- I или г/ = (1/Э) - (1/р) (так как р > р, это значение у
положительно). Следовательно, значения полезности для паразита (X) и
хозяина (У) равны
