Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
диагонали наибольший из платежей в том же столбце, которые в свою очередь
являются наибольшими в своих строках. Это означает, что роль устойчива,
если соответствующая стратегия - наилучшая из всех остальных. Из табл.
5.1 видно, что популяция, состоящая только из индивидов, использующих
стратегию "Воздаяние", устойчива (чего нельзя сказать о популяции,
состоящей, например, только из ястребов
Элементы теории игр
303
Таблица 5.1. Средние платежи, получаемые игроком, придерживающимся
различных ролей, или стратегий, в паре с каждой из стратегий противника
Стратегия игрока Стратегия противника
Г Я Б в п
Голубь (Г) 29 19,5 19,5 29 17,2
Ястреб (Я) 80 -19,5 74,6 -18,1 -18,1
Буйвол (Б) 80 4,9 41,5 11,9 11,2
Воздаяние (В) 29 -22,3 57,1 29 23,1
Проба (П) 56,7 -20,1 59,4 26,9 21,9
или буйволов). Таким образом, мы видим, что стратегии "ограниченного
конфликта" могут быть в принципе объяснены на основе индивидуального
отбора. Разумеется, встречаются более сложные ситуации, такие, как
приведенная выше, когда полиморфизм прокладывает путь "конформизму" -
каждый индивид выбирает стратегию "Воздаяние".
Предположим теперь, что популяция состоит почти исключительно из ястребов
и буйволов. Как видно из табл. 5.1, "Ястреб" более выгодная стратегия,
чем "Буйвол" (средний выигрыш
(74,6) для ястреба наибольший, если его противник действует, как
буйвол). В свою очередь "Буйвол" более выгодная стратегия, чем "Ястреб"
(средний выигрыш буйвола, играющего против ястреба, положителен).
Следовательно, мы имеем систему зависящих от частоты отборов, приводящих
к устойчивому полиморфизму, который в свою очередь приводит к устойчивой
популяции ястребов и буйволов. Таким образом, все остальные типы,
отличные от ястребов и буйволов, не имеют селективного преимущества и не
распространяются. На этот результат не влияет присутствие нескольких
особей, избравших стратегию "Голубь", так как "Ястреб" и "Буйвол"
оказываются наилучшими стратегиями (выигрыш 80) и в том случае, если
противник - голубь.
Все рассмотренные нами до сих пор стратегии (роли) являются чистыми
стратегиями. А как обстоит дело со смешанными стратегиями? Предположим,
что образующие популяцию особи вступают в конкуренцию, следуя описанным
выше стратегиям и случайным образом разбиваясь на пары. Каждая особь
воспроизводит себе подобных (т. е. особей, использующих ту же стратегию)
пропорционально полученному ей выигрышу. Если в игре существует
"эволюционно устойчивая стратегия", то популяция эволюционирует к ней.
Точнее говоря, эволюционно устойчивая стратегия - это смешанная
стратегия, обладающая тем свойством, что, если большинство образующих
популяцию
304
Глава 5
особей принимают ее, то никакая стратегия-мутант не может проникнуть в
популяцию. Иными словами, смешанная стратегия эволюционно устойчива, если
не существует стратегии-мутанта, обеспечивающей большую приспособленность
принявшим ее особям.
В более абстрактном виде то же самое можно выразить следующим образом.
Предположим, что чистые стратегии (моды поведения) для внутривидовой
конкуренции перенумерованы числами 1, 2, ..., п и что ар- выигрыш,
получаемый игроком от использования чистой стратегии i, когда его
противник ис-
ZTI
/=1 anQt - выигрыш, обеспечиваемый чистой стратегией i против смешанной
стратегии, задаваемой вектором вероятностей
Q = (Qi> ¦¦¦, Яп),
а п (5.6.1)
Е Е atJptq, = рAq
/¦=1
< = 1
- выигрыш, обеспечиваемый смешанной стратегией р- (рь ... ..., рп) против
смешанной стратегии q.
Пусть А- матрица платежей и Qn ={xi, хг, • ••> хп}
l=sXXj= l) - симплекс всех возможных стратегий. Стратегия ре называется
эволюционно устойчивой стратегией, если при возмущении популяции,
использующей эту стратегию, мутацией, вводящей небольшую популяцию с
стратегией р ф q, стратегия р в новой смешанной популяции оптимальнее,
чем стратегия q. Количественно это означает: стратегия р эволюционно
устойчива, если при всех q р выполняется неравенство pAq ^ qAp (причем
рАр > qAq), или
Е Е Pi^uPi >Е Е QjaijPp (5.6.2)
г = 1 / = 1 i - \j = 1
Следовательно, р - лучший ответ против самого себя, и оптимальнее любого
альтернативного наилучшего ответа q, чем q против самого себя.
В популяции со смешанной стратегией x - (xi,x2 хп)
w V1 П
выигрыш, обеспечиваемый стратегией i, равен 2-4=i(r)tixi> в то
время как средний выигрыш равен ственно предположить, что скорость
возрастания xi/xi равна разности этих двух выигрышей. Таким образом, наша
игра "сво-
Z/=ia kixkxi- Есте-
Элементы теории игр
305
дится" к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
dx { П п п .
-ж=х\ ? ачх' ~ Z Z х*а*/х/) <5-6-3)
\/=1 К=1 / = 1 /
в пространстве состояний Qn. Эта система уравнений намного сложнее той,
которую мы рассматривали при изучении игр с постоянной суммой и
парадоксальных игр с непостоянной суммой. В общем случае получить
аналитические решения для стационарных режимов оказывается невозможно
даже при п = 2. При п > 2 динамика развертывается в пространстве
