Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Динамика иерархических систем: эволюционное представление" -> 107

Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.

Николис Дж. Динамика иерархических систем: эволюционное представление — М.: Мир, 1989. — 490 c.
Скачать (прямая ссылка): dinamikaiearhicheskihsistem1989.pdf
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 187 >> Следующая

гонке вооружений - "взаимосвязь" между сторонами приводит к наращиванию
военного потенциала, т. е. к неустойчивому равновесию.)
Можно записать следующую систему уравнений для скоростей роста, - по
вполне понятным причинам она является двумерным обобщением логистического
уравнения (5.3.1) для одного вида:
dx 1
dt
dx 2 dt
¦¦x1 (a[ - ац*! - Ctl2x2), ==: Xj (ct2 С(21X1 ^22^2) >
(5.3.9)
где аь а2- коэффициенты рождаемости видов; ац, агг - показатели
смертности видов; ai2, a2i - коэффициенты перекрестных связей
(соответственно степени подавления вида I видом II и вида II видом
I). В соответствии с приведенным выше описанием мы предполагаем, что все
коэффициенты а, и ац положительны.
Найдем стационарные состояния системы (5.3.9) и исследуем критерии их
устойчивости. Координаты стационарных точек являются решениями системы
уравнений
хх (ctj - ац*; -- а,2х2) = О, х 2 (а2 ct21 х ^ СС22Х2) - 0.
(5.3.10)
Рис. 5.18. Линии равновесия для двух конкурирующих видов.
Следовательно, мы имеем два стационарных состояния х\ = 0, x2 = a2/a22 и
Х\ = а\/аи, х2 = 0, соответствующих случаю, когда один из видов вымирает,
а другой достигает своей равновесной популяции, когда он находится один в
окружающей среде; третье стационарное состояние представляет большой
интерес, так как оно может соответствовать устойчивому сосуществованию
двух видов, а именно точке пересечения двух прямых
tXi -1- cci2x2 - a,,
(5.3.11)
a21^1 ""Г a22^2 -a2>
изображенных на рис. 5.18.
290
Глава 5
При условии, что ссцсс22 ?= СС21ОС12 координаты точки пересечения равны
CX22Q1 - Ct] 2Q2
1 ОС 11СХ22 - ОС 21 ОС 12 * а1 1а2 - OC21CC1
2 CCi 1СС22 - ОС21 ОС 12
Если эти величины положительны, то, округлив их до ближайшего целого
числа, мы получим размеры популяций двух конкурирующих видов, которые
могут сосуществовать и остаются неизменными.
На плоскости (хих2) уравнения (5.3.11) задают прямые, которые делят
плоскость на четыре различные области, а именно: в области I х\ и хг
возрастают; в области II хх возрастает, х2 убывает; в области III хх
убывает, х2 возрастает; в области IV Xi и х2 убывают. При этих условиях
точка (х*, х*) - устойчивая точка равновесия, если апа2 > сс2хах и а22ах
> oci2a2. Если ссца2 < "21^1 и а22ах <. аХ2а2, то равновесие неустойчиво.
"Победитель" в конкурентной борьбе зависит от начальных плотностей двух
видов.
5.4. Выживание и вытеснение
Если популяции двух видов встречаются в одном и том же географическом
регионе (занимают одну и ту же экологическую "нишу") и предъявляют одни и
те же экологические требования к ресурсам, то гипотеза естественного
отбора позволяет ожидать, что "наиболее приспособленный" вид полностью
вытеснит своего конкурента. Это явление известно под названием прин7 ципа
конкурентного исключения. Кратко суть его сводится к утверждению о том,
что два взаимоисключающих конкурента не могут сосуществовать.
Чтобы построить модель процесса конкурентного исключения, рассмотрим
случай двух конкурирующих видов с одинаковыми экологическими
требованиями, сосуществующих в течение какого-то времени в среде,
способной поддержать существование ровно N особей обоих видов.
Предположим, что первоначально в среде обитают К особей вида I и N - К
особей вида II. Предположим, что конкуренция двух видов осуществляется в
серии парных столкновений. При каждом таком столкновении число особей
увеличивается на единицу с вероятностью р для вида I и с вероятностью q =
1-р для вида II. Два вида одинаково хорошо приспособлены, если p = q=
1/2. Вид I имеет преимущество в естественном отборе перед видом II, если
р > > q. Предполагается также, что вероятность р не зависит от размеров
популяций N и N - К двух видов.
Элементы теории игр
291
Пусть рк- вероятность того, что вид I вытеснит вид II, если первоначально
популяция вида I насчитывает К особей. (Если начальная популяция
насчитывает 0 особей, то ро = 0, т. е. вид I уже вытеснен. Если начальная
популяция насчитывает N особей, то Pn= 1, так как вид I уже вытеснил вид
II.) После первого парного столкновения размер популяции вида I
становится равным К + 1 или К-1с вероятностью, соответственно, Р и q.
Таким образом, вероятность рК есть сумма двух членов, а именно:
Рк = РРк + \ + ЯРк-ъ (5.4.1)
где рРк+i - вероятность того, что популяция вида I насчитывает К + 1
особей после одного столкновения и затем вытесняет вид II, a qpK-1 -
вероятность того, что популяция вида I насчитывает К - 1 особей после
первого столкновения и затем вытесняет вид II.
Будем искать решение уравнения (5.4.1) в виде рк = Хк. Подставляя это
выражение в (5.4.1), получаем
Хк = pxK+l + q%K~\ (5.4.2)
или
р%2 - X + q = О,
откуда
, l±Vl-4р<7 1 ± -у/\-4р (1 - р) 1±(1-2 р)
2р - 2 р ~~ 2р '
*1 = 1. = = (5.4.3)
При p - q= 1/2 корни (5.4.3) равны. Следовательно, общее решение
уравнения (5.4.1) имеет вид
Px = c1 + c2(i)Jf. если РФ 1/2, (5 4 4)
и рк = Ci + с2К, если р= 1/2,
где с 1, С2 - постоянные, которые еще требуется найти. Из определения
Предыдущая << 1 .. 101 102 103 104 105 106 < 107 > 108 109 110 111 112 113 .. 187 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed