Динамика иерархических систем: эволюционное представление - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Л2 представлена с вероятностью у, а стратегия В2 с вероятностью 1 - у.
Если стратегии угрозы вступают в силу (т. е. если согласие не
достигнуто), то математическое ожидание выигрыша для игрока I составляет
Gx, = 2ху + 4 (1 -• х) у + Зх (1 -¦ у). (5.2.5)
Соответствующий выигрыш для игрока II равен
Gj/0 = ^ +4(1 - х)г/ + 8х(1 - у). (5.2.6)
Рассмотрим теперь игру с торгом, в которой точка (Gx,, Gy,), задаваемая
выражениями (5.2.5), (5.2.6), является точкой статус-кво, а множество
"предмет торга", как и прежде, лежит на прямой, проходящей через точки
(3,8) и (4,4). Решение игры в этом случае есть точка (G'o, G*J на
множестве "предмет торга", такая, что Gx доставляет максимум выражению
F - (Gx - Gx") (Gy - Gy,) = (Gx - Gx,) (20 - 4G, - Gy,). (5.2.7)
Элементы теории игр
275
Максимизирующее значение, вычисляемое из условия dF/dGx - = 0,
оказывается равным
Gx = j(20-G1/o + 4GJ = i-(20-9^ + 4x+ 12у). (5.2.8)
Ясно, что в интересах игрока I выбрать такую стратегию угроз х, при
которой его окончательный выигрыш G* максимален, т. е. определяется
выражением (5.2.8).
Преобразуем теперь первоначальную игру, умножив выигрыши игрока I на 4,
как показано на рис. 5.7. Такое преобразование сводится к выбору игроком
I других денежных единиц, что заведомо не сказывается на "стратегической
структуре" игры.
*1
\ 1 \ \ 3 \ \ ч \ 8 \ \ \2 \ \
\ \ 16 \ \ X
At
\ \ -7 \ \ 7 \ \ \ \ -4 \ \ \ 4 \ \
\ -12 \ \ \ 12 \ \ \ 0 \ \ о \ Л
Рис. 5.7. Преобразование игры, изо- Рис. 5.8. Дальнейшее преобразование
браженной на рис. 5.4.
игры, изображенной на рис. 5.4, в игру с постоянной суммой, имеющую
седловую точку.
В качестве второго шага построим игру с нулевой суммой (рис. 5.8), в
которой платежи являются алгебраическими разностями платежей
преобразованной выше игры.
Вычислим выигрыш игрока I в этой последней игре с постоянной суммой при
условии, что он использует смешанную стратегию х, в то время как его
противник - игрок II - использует смешанную стратегию у. Математическое
ожидание выигрыша для игрока I составляет в этом случае величину
7ху + Ах (1 - у) + 12г/ (1 - х) - -9ху + Ах + 12у
¦-именно эта величина необходима ему, чтобы достичь максимального
выигрыша в первоначальной игре [см. соотношение
(5.2.8)]. Но последняя из рассмотренных нами игр (и это имеет решающее
значение) - игра с нулевой суммой, имеющая седловую точку в (А 1, В2).
Выбирая стратегию Аи игрок I максимизирует свои минимальные выигрыши, а
выбирая стратегию В2, игрок II минимизирует свои максимальные проигрыши.
276
Глава 5
Таким образом, в этой игре для игрока I существует чистая наилучшая
стратегия, а именно стратегия А\. Аналогично, для игрока II эта последняя
игра стратегически эквивалентна первоначальной, поэтому лучшей стратегией
для игрока II была и остается чистая стратегия В2. Приведенных выше
соображений, по-видимому, достаточно, чтобы мы убедились: множеством
"предмет торга" в конечном итоге должна быть прямая Gx -j-+ Gy = ll (рис.
5.9) с точкой статус-кво GXo= 12/5, Gya = 32/11.
Итак, нас интересуют размеры возможных "компенсаций", которые игрок II
должен предложить игроку I, чтобы склонить того к торгам (привлечь к
множеству "предмет торга", изобра-
Рис. 5.9. Другое множество исходов переговоров для той же конкретной
игры (см. рис. 5.4).
женному на рнс. 5.9). При таком множестве "предмет торга" два игрока
совместно получают больший выигрыш, чем при любом другом исходе, и,
следовательно, больший, чем при любой смешанной стратегии.
Разве не должны два рациональных игрока сразу же согласиться на
координацию своих стратегий с целью достижения исхода (Ль В2) и лишь
затем приступить к торгу относительно того, как разделить между собой
совместный выигрыш? Найдем интересующие нас величины из условия максимума
величины
Полагая dF/dGx = 0, получаем
h-g;-^--g;+^-=o,
откуда
G* ~ 5,25 и G*y ~ 5,75.
Элементы теории игр
277
Чтобы склонить игрока I принять множество "предмет торга", игрок II
должен пойти на весьма серьезные уступки. Однако существует
альтернативный способ, позволяющий убедиться в том, что игрок II уступает
игроку I лишь "в самый раз". Будем считать, что полный выигрыш,
получаемый "коалицией" из двух игроков, делится между ними в соответствии
с следующим принципом: каждый партнер получает столько,
сколько вносит, вступая в коалицию.
Предположим, что коалиция состоит из игрока I, первым вступившего в
"пустую" коалицию. В коалиции с самим собой игрок I получает выигрыш,
равный его уровню "безопасности", т. е. 12/5. Если первым в "пустую"
коалицию вступает игрок II, то коалиция, состоящая из одного человека,
может получить выигрыш 32/11 (уровень "безопасности" игрока II).
Присоединяясь к коалиции, игрок I позволяет (буквально и фактически)
коалиции из двух человек получить выигрыш, равный 11. Следовательно, он
приносит коалиции, к которой присоединяется, 11-¦ (32/11) = 89/11, и
получает (на этой стадии) право на выигрыш в размере 89/11. Однако мы
