Пространственное осреднение и теория турбулентности - Николаевский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
через дивергенцию тензора более высокого ранга (двойного напряжения
Миндлина [44]), и тогда требуемое условие будет выполнено даже при оы Ф
Oik.
Перейдем теперь к уравнениям динамики турбулизованной гетерогенной
жидкости, расмотренных Д. Ш. Искендеровым
314 В. Н. Николаевский
[30]. Отличие состоит в том, что в турбулизованной суспензии присутствуют
не только вращающиеся твердые частицы, но и жидкие вихри (вращающиеся
моли Прандтля). Поэтому эффект асимметрии тензора напряжений будет
несравнимо сильнее, тогда как вязкими напряжениями можно пренебречь.
Согласно процедуре пространственного осреднения, имеем
<mpi> + (mpiuf'y, = О ~((\-т)р2)-m)p2uf))j = Q j
dt
(mpiuP) + -gj- = - m
dp
dXi
<mRi>
1 - m)p2uf}) + -gj-((l - tn)p2u?)uf)}i =
(mRi)
-§f (ftijkxkmp\uf) + (eitkxkmpiu(il) mJ0)/ =
dX,
= -m
(9.23)
(9.24)
-щ- (zukXkphj)j - (e,ijkxkmRj), (9.25)
dt
(zijkxk (1 - m) p2uf) + -~-(enkxk(l - tn) p 2uf)uf)j =
= - (1 - т)-щ- (впихан)j + <eiikxkmRi>.
Представим теперь мгновенную скорость обеих фаз в виде
"Г
du;а)
iih t) = C/f + -^1- h + о (-g-) + wP (су, t), (9.26)
где - массовая скорость фазы а, отнесенная к центру тяжести объема ДУ, -
турбулентная пульсация фазы а. Вновь
объем AV разделяем на множество подобъемов ДУ/, внутри которых
справедливо представление
где = |т - ?(") - координаты, ш<а> -ш;(|")- скорости
mm j т
центра масс объема моля ДУ/ фазы а.
При достаточно высокой степени турбулизации потока (при больших скоростях
собственного вращения) имеет следую-
1
Пространственное осреднение и теория турбулентности 315
щие выражения для внутренних моментов количества движения:
МР = {еикРЩиУ" = mpi ,
M{P = <eukpurik>^ = (1 - m) p2 (siln + -^jp) , (9.27)
где
A = -A S p^dV <9-28>
1
- момент инерции фазы а. Для потоков кинетического момента имеем
соответственно
<et7ftpUiUU/УУ^ MPUp - р(?!/ + о (А),
<ешрм/|/гМ/>/2) = Mfvf - ufj' + о (А). (9.29)
Если частицы фаз симметричны, то = l/2j(a)6m". Пусть "<"> - избыточные
угловые скорости. Тогда
M[l) = J(!)mp, (?#> + соГО, М(? = J(2) (1 - т) р2 (Q?> + (c)?')• (9-30)
Здесь /<") = </'<">> - средний момент инерции молей фазы а. Для простоты
можно принять, что удельные моменты инерции молей обоих фаз равны /(*) =
Л2) = /. Это соответствует одному линейному масштабу взвешенных частиц и
турбулентных вихрей. Теперь уравнения динамики турбулизованной суспензии
можно представить в виде
A(mpi) +_|_(mp1?/},)) = 0, A(l-m)p2 +
+ -щ- (1 - tn) p2(Jf} = 0;
mpi 'Щ}- - -щ- mpiR?/ - m -A am {UP - Uf]),
(1 - m) p2 = (1 - m) p2Rfl - (1 - m) A_ +
+ am(U[l)-U?)y, (9.31)
A Mk1" + -щ- (MpU\l) - pP) = ekiiR{l/m +
+ am [(Qk2) + 42)) - (41' + 4°)],
316 В. Н. Николаевский
~зг +~штО* ,f/" ~I*(r)=(>-")-
-om[(S?> + wf)-(Qi" + 4'')].
Здесь /?<") - фазовые напряжения Рейнольдса, Q<">- вихрь поля
Ч 1
фазовой скорости; эффект подъемной силы не учитывается (6 = 0).
Замыкающие связи системы (9.31) введем следующим образом:
1 (nta' I п(а)\_ (а) ( dU<i } , dU) ' ^
2 УЯч +Kji)-v ра^ дх, + dXl J,
4-да-^?))=^я2у(в)ра<ой*),
nir = 2П,а'ра/ m + со гг (9.32)
где v<">, у<") - коэффициенты турбулентных вязкостей.
Рассмотрим турбулентное сечение суспензии в плоском следе за телом.
Представим компоненты скоростей и объемную концентрацию жидкости в виде
G("> = Ux - ?/<">, m = rrioo - in
и обозначим (о(") = &)<">, й<") = Q((r)). В приближении Озеена система
(9.31), (9.32) запишется в виде
v<H - -2v<" - №>).
дх ду2 ' ду ' Pi
U J^!L _ 2гу') + 4-^--^-юС) =
и°° дх Ц dy2^ J
= (2т,<'> - v<'>) ¦+ К> - "(Н),
?/. ^ - *'> = -2у<2) (№> - ?/<*,),
дх ду2 г ду 1 P2(l-mDO)v ;
(9 33)
^^-2^^ + 4-?r-"(2i =
/о '2, ,2,4 , а К")"1" , ,!) ,2)4
= (2т1> ) - V< ¦') з-о --75- -------- (со1') - и 0.
v 1 ' ду2 1 P2(l - ;
Обтекаемое тело с характерным размером d можно моделировать диполями и
формулировать граничные условия следующим образом:
Q<°> = К<°> [6 (у + d/2) - Ь(у - d/2)],
а<"> = -GO) [б (у + d/2) -6 (у - d/2)],
U(a) = dU(ai/dy - 0, <л(-а>- д<л(а^/ду = 0, |р|-*-оо. (9.34)
Пространственное осреднение и теория турбулентности 317
Вновь при построении решения примем, что асимметричные компоненты
напряжений намного меньше симметричных компонент, т. е. что |v<")Q(")| >¦
| у(")о)(а) |, а также что выполнены неравенство 4 У и равенство
2,п(">+'у(") - v<") = 0.
В случае разбавленной суспензии имеет место неравенство Р1/лЗ>р2(1-пг) и
в уравнении импульса для жидкости меж-фазовая сила относительно мала и ею
можно пренебречь.
Для системы (9.33) решение строится методом последовательных приближений,
причем решение на шаге k используется для аппроксимации правых частей
системы (9.33) на шаге k-\-\. При указанных упрощениях уравнения первых
приближений имеют вид
as#" (П аЧ>
U°°~di V ду2 ~ - °'
гг <4" 0 (И *Ч'> | 4y(1)Pi (1) п
U-~5i--------2т1 -Ж- + ~Г-т (9.35)
,т ^Qq* {2) д2а02) ЩгПа^ГПае , (1) /2)\
0 о)'
ГГ * о",(2) ^ Ш0( I 4v(2)p2 12) а (m°°) m°° ( (1) (2)^
°° дх 11 ду2 + I 0)0 p2(l~ тоо) 0)0
^Т$- = -у'" {aS> - ^ (9-36)
dQf'1 _ {2) а2Д2) __ а (wто) ягоо , (1) _ 0,2)ч _ (2)
