Пространственное осреднение и теория турбулентности - Николаевский В.Н.
Скачать (прямая ссылка):
результатов осреднения:
3"Ф)/ -<Ф>) ?/у
Vх = щ •
Уравнение переноса вихря в турбулентном потоке следует из (5.26) при
введении диффузионного размыва
= ц д^%) . (5.27)
С другой стороны, уравнение баланса момента количества движения (5.4) и
уравнение эволюции момента инерции (5.7) приводит к уравнению переноса
вихря в форме (5.26), если положить т] = -?2>0 и % -со- В этом случае
оказывается необходимым полагать, что по мере диффузии вихря его момент
инерции (и размеры) растет.
Существенным следствием проводимого анализа оказывается невозможность
противопоставления теорий переноса Прандтля
Гейлора. Из-за появления дополнительной степени свободы
оба уравнения оказываются необходимыми для решения тех Или иных задач
19*
292 В. Н. Николаевский
6. ТУРБУЛЕНТНЫЙ СЛЕД ЗА ТЕЛОМ
Турбулентные течения в следе за телом можно рассматривать, как это было
сделано Линем [128], для уравнения относительно вихря Q скорости U в
плоском следе. При построении решения Линь сделал предположения,
характерные для теории пограничного слоя. Помимо известного решения для
течения
0 = 4"гоШ~ ~Техр(~ф3)' Ф= V-^r- '
z х 2-yvx
где х - координата (макро) вдоль следа за телом, у - поперек следа, Uоо -
скорость внешнего потока, Линь указал также на существование решений типа
Q ------- {ехр [- (Ф - фо)2] - ехр [- (ф + фо)2]},
д/х
где фо = d д/С/оо/2 д/vx, d - расстояние между точками схода вихрей.
Решение (6.2) в точке х = 0, где находится обтекаемое тело, соответствует
заданию диполя (причем введение осциллирующих множителей в работе [128]
моделировало дискретное строение вихревой дорожки Кармана). Все же
решение (6.2) не смогло объяснить известные экспериментальные отклонения
[105, 116] от автомодельного решения (6.1).
Согласно развиваемой здесь точке зрения, будем считать, что сходящие с
тела вихри имеют собственную завихренность, отличную от вихря Q на
величину ".
В линеаризованном приближении погранслоя уравнения баланса импульса
(2.23) и момента количества движения (3.25) имеют вид
/?=-vf- + 2v(r). (6.3)
и~ Ж +")=2" W {-kir1[у'(й+">1} -Т "• <6-4>
Здесь U - дефект скорости, pR = Rxy^RVx- касательное напряжение.
Коэффициенты турбулентных вязкостей pv, ру, рц и момент инерции /
предполагаются постоянными. При п = 0 уравнения соответствуют плоскому
течению, а при п = 1 - следу за телом вращения в цилиндрической системе
координат.
Обтекаемое тело будем моделировать источником вихрей, а именно диполем
для плоской задачи:
а(х = о) = кГд(0+4)-&(0-4)]' к>0' (6-5)
05(х = 0) = -оГб(у+4)-б(у-4)], G>0,
Прост ранет венное осреднение и теория турбулентности 293
и кольцевым источником для осесимметричной: Й(* = 0)=-К6 {у -4),
СО
(х = 0 ) = Gb(y -
(6.6)
Идея об использовании кольцевых источников вихрей, как известно,
принадлежит Н. Е. Жуковскому [26]. Здесь б-дельтафункция Дирака.
Граничные условия вдали от тела имеют вид
U = dil/dy = 0, со = дсо/ду = 0, |у|-^-оо. Перепишем уравнения (6.3),
(6.4) в следующем виде:
(6.7)
Uо,
да
дх
их
1
ду L уп ду
(y"Q)
= ~Y^"| -к^7г(Уп(r))
dm
дх
- (2т1 + у)
д У
Уп ду 4vp
-г-со =
= (2л v) -щ-
1
Уп
ду
(УПЩ
(6.8)
Предположим, что разность касательных напряжений Rxy и Ryx намного меньше
самих напряжений, т. е. |vQ|^>|yco|. Дополнительно потребуем | (2ri+y)co|
>• | (2ri - v)Q|. Рассмотрим сначала систему однородных уравнений
U*
иа
дО0
дх
дто
v ду wr-(2r] + y)
уП ду (yHQ о)
= 0.
д
ду
1 д t п \ 1~у^ ~ду~ (У °\
4ур
СОп = 0.
(6.9)
При выполнении указанных неравенств решения однородных уравнений (6.9)
дают главные члены Q и со. Учитывая это положение, будем искать
приближенное решение системы (6.8), решая систему уравнений
иа
иа
до
дх
дт
дх
ду
L у>г~ду'(У
J д_
Уа ду
= (2ti - v)
= -Y (гДо)
д
ду
4vp
-r-"=
ду
(6.10)
где Q0) ш - решения однородной системы (6.9). Решения (6.10) ри граничных
условиях (6.5) - (6.7) можно построить в инте-
294 В. Н. Николаевский
гралах [128]. При условии что 4 л/vx/Uoo^d, они принимают
вид
/ \ jl+rar/l + re/2 . тг 2 ч
2 = -у(^К + - 2ц\у о) 2. 16пя(1-п)12 (xv)l+nl2 ехр( Ш~) +
yGd^Ul^ ? , 4ytp ил ч
I У О ,П (]+п\!9 J CAr I Г/7 I ЛЫ I ^
.4Vi + ")/2 0-> IU " 4vx + 4{М
X (VAT + Vf ^ (з - Я - (I , ,-H2vT+ 2P0-) <6-И)
(1 + n) (2VX + 2PO
^ ¦ 2n-v ^ d'+^L4"1'2
<0- y(G + v Aj 2.l6%(1-")/2(2n + Y)1+n/2x1 + n/2 X
>-с::рГ ^ 1 I а ^1 + ^+я/2(2П-у)
XeXp[ ^ 4(2n + Y)xJ + ^ 8 ¦ 4V1_ra)/2 X
x jexp [¦-жг'<*-f> -T^rsfcir] x
X t(2^ + Y)* 1Л 2 (3 " 2 (n + 1) f (2n + Y) * -1Л
(6.12)
Здесь P = 2p + y-¦ v. Заметим, что при (5 = 0 формулы (6.11) и (6.12)
значительно упрощаются. С другой стороны, при со = О уравнение (6.3)
переходит в уравнение переноса импульса Прандтля, а (6.4) - в уравнение
переноса завихренности Тейлора. Требование об их совпадении означает (ср.
[78]) выполнение равенства 2г| = v. Кроме того, в согласии с предыдущими
замечаниями положим (5=0. Тогда расчетные формулы принимают более простой
вид:
2 .. I " , v а\+пи1+Щ2 ( Ujf
(" I Y r\ rfl+Hf/l+ra/2 / UjF \
