Методы математической физики - Несис Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
собственного вектора; так, линейный оператор в реальном пространстве,
поворачивающий плоскость XOY вокруг оси Z на любой угол а, отличный от
180° (точнее афкп, где k = 0, 1, 2, ...), не имеет ни одного вектора,
который бы после поворота остался кол-линеарным первоначальному.
Чтобы глубже изучить свойства линейных операторов в евклидовом
пространстве, познакомимся с понятием инвариантного подпространства.
У\
Пусть А - линейный оператор в линейном п-мерном пространстве R (которое
может быть как действительным, так и комплексным). Линейное
подпространство /?, назы-
о
вается инвариантным относительно А, если в резуль-
А 0
тате действия оператора А на любой вектор х из по-
/\ ->
лучается новый вектор Ах, также принадлежащий подпространству Rv
Ясно, что инвариантное подпространство является обобщением множества
векторов, коллинеарных собственному
вектору оператора. В частности, совокупность векторов
->
из R, коллинеарных некоторому собственному вектору х
/\
оператора А, образует одномерное инвариантное подпространство.
Приведем еще пример. Если оператор А совершает поворот реального
трехмерного пространства вокруг оси Z, то инвариантным подпространством
здесь являются: а) множество векторов, расположенных вдоль оси Z
(одномерное подпространство) и б) совокупность векторов в плоскости XOY
(двумерное подпространство).
Теперь мы можем сформулировать важную теорему о линейных операторах в
действительных линейных пространствах.
" 'л
У всякого линейного оператора А в вещественном аффинном п-мерном
пространстве R существует одномерное или двумерное инвариантное
подпространство.
Мы не будем строго доказывать эту теорему, а приведем
193
качественные рассуждения, подтверждающие ее справедли-
-> -> ->
вость. Выберем в R некоторый базис еа, пусть
оператору А в этом базисе соответствует матрица А =||а,-*||. Составим
соответствующее характеристическое уравнение гс-ой степени:
det (А - Я/) = 0.
Обозначим через Я0 корень этого уравнения. Могут представиться два
случая.
1. Корень Я0-число действительное. Тогда, как легко
видеть, существует и действительных чисел xlt х2, ..., ха,
которые можно рассматривать как координаты в выбранном
->
базисе такого вещественного вектора х, что
/ч-> ->
Ах = Х0х.
->
Но в этом случае множество векторов ах образует одномерное инвариантное
подпространство, аналогично тому, что имеет место в случае комплексного
пространства.
2. Корень Хп-число комплексное (Я0 = а+р/). Этот случай не имеет аналогии
в комплексных пространствах.
Координаты хк собственного вектора, соответствующего такому Я0, являются,
очевидно, комплексными. Обозначим их в виде gj + riit, + Л*"> •••> ?П +
Лл*- Тогда можно записать следующую систему уравнений:
2 а/* (?* + ЛаО = (" + РО (?/ + Л/0.
ft=i
где /= 1, 2, ..., гс. Приравнивая соответственно действительные и мнимые
части, получим две системы уравнений:
2 <*/*?* = "|/ - Рл/,
/Е=1
П
2 = "Л/+ Р?/-
п~ 1
Рассматривая теперь 5i. •••> ?п и соответственно rjj,
т)2, ..., т)п как координаты действительных векторов
х и у, можно предыдущие равенства записать в оператор-ной форме:
(М)
Ау =а"/+Рх.
194
А это означает, что двумерное подпространство, порожден-ное векторами
хну, инвариантно относительно опера-тора А.
Перейдем теперь к рассмотрению самосопряженных операторов в евклидовом
(вещественном) пространстве. Поскольку элементы матрицы в этом
пространстве действительные числа, то условие самосопряженности
операторов
(а,А = а&) сводится к равенству aik = aki.
Чтобы линейный оператор был самосопряженным, необходимо и достаточно,
чтобы его матрица в ортонормированием базисе была симметрична.
Очевидно, что и в действительном евклидовом пространстве справедливо
рассмотренное в § 4 свойство самосопряженных операторов.
Существует ортонормированный ("собственный") базис, в котором
симметричная матрица S, соответствующая само-
сопряженному оператору S, принимает диагональный вид.
Познакомимся теперь с понятием ортогонального оператора.
/\
Линейный оператор А действительного евклидова /г-мер-ного пространства R
называется ортогональным, если он сохраняет неизменным скалярное
произведение любых двух векторов из R:
/\ -> /Ч-> -> ->
(Ах, Ау) = (х, у).
В частности, полагая х = у, получаем:
(Аху = (х)\
Это значит, что ортогональный оператор сохраняет длины векторов. Ясно,
что ортогональный оператор в действительном евклидовом пространстве
играет такую же роль, что и унитарный оператор в комплексном евклидовом
пространстве.
Так как в евклидовом пространстве угол между векторами определяется по
формуле
cos ср = -^ ¦
и при ортогональном преобразовании и числитель и знаменатель не меняются,
то ортогональный оператор сохраняет углы между векторами.
195
Как и унитарный оператор в комплексном евклидовом пространстве,
ортогональный оператор в действительном евклидовом пространстве переводит
ортонормированный базис в другой ортонормированный базис.
Поскольку в действительном пространстве U+ - U, то условие унитарности
