Оптический производстенный контроль - Малакара Д.
Скачать (прямая ссылка):
192' Так как комплексная амплитуда а(хь У\) в параксиальной плоскости определяется Фурье-преобразованием уравнения (8.28), имеем
a (X1, л (х, У) ехр
J л"2 + г/а (S2
І ~ (X1X +У! IJ)
/Я
dxdy ¦
2/1 (?)
P
+ iw(xu IJ1),
(8.32)
где р —[2л/(л/^)][хі +г/і]1/2, J (р)—функция Бесселя первого порядка и
W
(X1, уO = W W(X, у) ехр
J J 9
Л"2 4-г/а <S
. 2я ,
— l — (X\ X+IJ1 IJ)
к R
dxdy (8.33)
есть Фурье-преобразование W(х, у), представляющее собой комплексную амплитуду в параксиальной плоскости при наличии аберраций. Распределение комплексной амплитуды по параксиальной плоскости ограничено наличием ножа, который имеет следующие пределы изменения прозрачности:
1,
M (X1, уг)-
¦ г і Ij1; ~Г1>У г.
(8.34)
где г\ — действительное число, определяющее положение ножа (параллельного оси Х\) вдоль оси Yh как в уравнении (8.1).
Из уравнений (8.33) и (8.34) следует, что при [2л/(Я/^)]гіЗ>3,83, радиус диска Эйри в параксиальной плоскости благодаря равномерному фону останется практически неизменным, и во всем изображении контролируемой детали будет присутствовать равномерное распределение интенсивности. Если нож располагается на расстоянии, примерно равном радиусу диска Эйри (р = 3,83), комплексная амплитуда, связанная с прямым светом в изображении, будет модулирована и для свободной от аберраций оптической поверхности определится уравнением
A'(X2, IJ2)= 1 1 M (X1, уг) 2/1 (р) ехр (X2X^y2J1)
J J P . >-R\
і 2л
d X1Uy1. (8.35)
Его удобнее записать, используя теорему свертки, как гильбертово преобразование свободной от аберрации части комплексной амплитуды объекта
А' (х2, у2)-
У2/Q-fii)-и/0-Я)
circ(x, y)dxdy, (8.36)
7—839
193 где circ (х, у) равно единице в пределах контролируемой оптической поверхности, при x2 + y2<S2max и равно нулю во всех других случаях. Интегрируя уравнение (8.36), получим
A' (X2 Уг) = const In
У 2 ¦
(S
2
2 max
2\ 1 '2 У
V2-{S
ir 2 2 шах
ІУ
(8.37)
Из этого уравнения следует, что по краю изображения свободной от аберрации поверхности имеется светлое кольцо, называемое дифракционным кольцом Релея, которое было бы ошибочным интерпретировать как заваленный или подвернутый край или принимать за какую-либо другую деформацию контролируемой поверхности. В данном описании интенсивность изображения распространяется за край в бесконечность, чего па практике, конечно, не бывает. Это происходит потому, что, как указывал Релей [39], плоскость модуляции, в которой располагается нож, рассматривают для удобства математических выкладок как бесконечно протяженную, пренебрегая тем, что любая наблюдательная система, образующая изображение контролируемой оптической поверхности, имеет конечную апертуру. Велфорд [51] показал, что при использовании таких систем получаются интенсивности изображения, равные максимальным значениям.
Таким образом, комплексная амплитуда, выходящая из параксиальной плоскости в направлении к плоскости изображения, определяется как
а'(хг, у1) = М(х1, Ij1) a (X1, Ij1) = 2У1(Р)/р-|-
+ і(2яік)М(х1, IJ1)W(хъ Ij1).
(8.38)
Она может быть получена обратным Фурье-преобразованием уравнения (8.38)
+ оо
Л'(х2, Уг)=^ ( a'(xv IZ1Jexp 2л
Щ
(X2X1-^y2 IJ1)
dxi dyj =
2л
1+1— W (х2, у2),
(8.39)
где
Wixzt ^ M (X1, IJ1) W (X1, Ij1) X
X ехр
2я IR,
(X2X1+ IJ2 IJ1)
d Xidy1
(8.40)
есть обратное Фурье-преобразование для дифрагированного света, полученного в присутствии аберраций, не ограниченных ножом. Очевидно, что если амплитуда функции светопропускания M(xh у-,) в параксиальной плоскости равна единице, то W'(х2, уч) = W у2)\ это, как и уравнение (8.31), указывает на отсутствие информации об аберрациях. Необходимо, следовательно, изменить функцию
194' w(x\, ij\) так, чтобы выражение W (х2, устало чисто мнимой или комплексной функцией с мнимой частью, отличной от нуля, т. е.
W'(x2, y2) = W'r(x2, IJ2) +і W1 (х2, у2), (8.41)
где индексы г и і соответственно обозначают действительную и мнимую части.
Подставляя уравнение (8.41) в (8.39), можно определить распределение интенсивности изображения как
D (х2, у2) = А' (х2, у2)А'*(х2, y2)=\-(in/X)W'.(x2, IJ2). (8.42)
Отсюда следует, что изменения интенсивности в плоскости изображения указывают на присутствие аберраций при условии, что модификация проведена по Фурье-спектру объекта в параксиальной плоскости, чтобы обеспечить условие W/(х2, у2)ф0. Резкость изменений интенсивности изображения определяется выражением
Т=(4лfk)Wt(x2, у2). (8.43)
Для объяснения взаимосвязи изменений интенсивности изображения с аберрацией оптической поверхности рассмотрим подробно член Wi'(х2, уг). Так как w(xu у і) есть Фурье-преобразование чисто действительной функции W(x, у), из уравнения (8.40) следует, что Wi'(х2, у-г) не равно нулю только в случае, если функция модуляции Мх(х\, у і) имеет член, являющийся чисто действительной и нечетной или чисто мнимой и четной функцией. Поскольку любая функция может быть представлена своими четной и нечетной частями, всегда можно определить, какой именно член функции модуляции М(х\, уі ) приводит к W/ (х2, у2)ф0. Определяя и анализируя его свойства, можно связать изменения интенсивности изображения в уравнении (8.42) с функцией аберрации W(x, у).
