Методика решения задач оптики - Ильичева Е.Н.
Скачать (прямая ссылка):
собирающейся в фокусе AF= -AQNn,
2. Для расчета волнового возмущения в фокусе линзы вое-пользуемся
интегралом Кирхгофа-Френеля, полагая cos (п, г)=1:
по апертуре пучка
104
где A0t(x,y)-распределение комплексных амплитуд света непосредственно
после линзы и t(x, у) -^ - функция про-
пускания тонкой линзы.
Для нахождения t(x,y) воспользуемся тем, что без учета поглощения света
линза - чисто фазовый объект, т. е.
t(x, у) = е*{х-у\
В параксиальном приближении <р(;с, у) = - k-Действи-
тельно, если точечный источник находится в переднем фокусе линзы, т. е.
на линзу падает расходящаяся волна с амплитудой
ih*'+y*
2f
A=Ate f ,
то после линзы получается плоская волна. Линза компенсирует разность фаз
лучей, идущих по различным направлениям (пути таутохронны), внося фазовую
задержку <р(х,у):
Vp==iтгА> Я dxdy'
по апертуре
т. е. тот же результат, что и ранее.
Размеры пятна г в фокальной плоскости линзы найдем из условия
ограниченности сечения пучка диаметром D\. Основная доля, потока
сосредоточена в пределах нулевого дифракционного максимума. Первый нуль
интенсивности соответствует условию
?>, sin ср = 1,22Я, sin<}) = r/i = 1.22Я/1),; г ^- f = 1,5 мкм.
2-й тип задач (3.2)
3.2.1. Параболическое зеркало имеет диаметр 1м и используется как
антенна для волн с Я=3см. Оценить наименьшее расстояние, на котором
следует поместить приемник для снятия диаграммы направленности.
Решение. 1. Необходимо, чтобы в точке Р (рис. 27) выполнялись условия для
наблюдения дифракции Фраунгофера. Для этого размер зеркала ?>/2 должен
быть <С размеров первой зоны Френеля, равной
'.=1/*7?г-К*тTTS-
Если источник находится в фокусе параболического зеркала (а=оо), то г1 =
УхЬ'> DJ2, откуда б2>^-=10м.
105
2. Должно выполняться приближение Фраунгофера
*(g-)<"/2.
D2 1
т. е. = Ь- 30 м.
При этих условиях амплитуда света с учетом квадратичных членов в фазовом
множителе будет отличаться от линейного приближения, как г]/г2 отличается
от ~ = 1,57-г, т. е. ошибка будет* не более 10%.
I* б - d-
Рис. 27 Рис. 28
3-й тип задач (3.3)
3.3.1. Найти распределение интенсивности в дифракционной картине
Фраунгофера, если плоская волна амплитуды Е0 нормально падает на
амплитудную решетку с периодом d и шириной щели b (рис. 28).
Решение. Возможны дза метода расчета.
1. Рассчитаем распределение интенсивности как результат интерференции
когерентных волн. От п-й щели от элемента щели dx в направлении <р идет
волна
Е" dx exp {ia>t -¦ ik \(n - 1) d -f- x] sin ?}.
Вся щель посылает волну
ь
?" exp {г [mt-k(n-l)d sin ?]} J exp [- ikx sin <p] dx,
0
От N щелей, являющихся когерентными излучателями, получим
N Ъ
* Eif = Et exp imt exp [- ik(ti - l)d simp] J exp [- ikx sin?]
n=l 0
N
- EJbelat ^jTJ ^xp [- ik (n - 1) d sin?],
*=1
где
Kb sin f
и
106
Обозначим wcfon?- через 6. Тогда
N
2 exp [- i28 (t% - 1)] = 1 -j- exp (- i28) -j- exp (- г'48) ...
n- \
-f- exp [- /28 (N - ])] - геометрическая прогрессия со знаменателем
^=ехр(-г2б):
S" l-а" 1 - exp [- 2i8N]
1 -д- 1 - exp [- "2 8] '
п= 1
Р Р и sin и 1 - exp [- i2bN) jat - и 1 - ехр[- 12в] в '
Интенсивность света
/ sin и у Vsin N8 \* 1~~ * ^ и J ^ sin8 ) '
где
nb sin* wdsin*
"=-г1 и *=-i
Таким образом, за решеткой распределение интенсивности' модулируется
множителем ((sinи)/и)2, описывающим дифракционные явления от одной щели.
Второй множитель является результатом интерференции волн от N когерентных
щелей. Главные максимумы, соответствующие интерференционному' усилению
волн, появляются в направлении, когда б=тя, т. е. при dsiny=mX. Главные-
минимумы наблюдаются в направлениях, в которых ни одна щель света не
посылает, т. е. как и от одной щели при условии 6sin<p=mA.
2. Воспользуемся представлением волнового возмущения в виде
суперпозиции плоских волн, амплитуда которых определяется преобразованием
Фурье функции пропускания отверстия. Функция пропускания амплитудной
решетки
t(x, y) - t (х) = J
1 - для.\(тd - а) <|л;|< (тdа),
О -в остальных случаях,
где Ь=2а - ширина прозрачного промежутка, d - период решетки, L=Nd-ширина
решетки, N-><". Спектральная плотность Фурье-компонент функции t(x) для
пространственных частот <в* равна
N md+a
._ - , -. ,
оК,=2 j
m=0 md-a m= 0
107
Соответственно угловой спектр плоских дифрагированных волн V(ikx)
определится функцией G(<йх) при условии, что ax=kx
и распределение интенсивности по углам <р будет иметь вид
г _ 1 /sin и \2 /sin N8 \ 2
даемые в направлении sin<pm=±mkld, соответствуют двум плоским
дифрагированным волнам, появляющимся от каждой cos-компоненты, на которые
разлагается функция' t{x) при условии
Так как t (х) - почти-периодическая функция х (N велико), то волновое
поле представляет собой набор узких волновых пакетов, угловая ширина
которых bq>=X/Nd->-0 по мере увеличения N, а амплитуды определяются
спектральной плотностью G(<ax).
3.3.2. Показать, что для дифракционной решетки с периодом d=2b (b -
ширина щели) все четные максимумы пропадают. Считать протяженность
