Методика решения задач оптики - Ильичева Е.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Имея в виду амплитудные значения, запишем условие непрерывности
тангенциальных компонент электрического н магнитного полей "а верхней
границе раздела двух сред (§=а). Для электрического поля имеем
где Е\ - амплитуда отраженной волны.
Для напряженности магнитного поля на этой же границе можно написать
где Ни Н\ - амплитуды напряженности магнитного поля в падающей и
отраженных волнах.
Знак "минус" в (13) обусловлен тем, что при отражении напряженность
магнитного поля меняет фазу на п (см. формулы Френеля).
Поскольку в плоской электромагнитной волне существует следующая связь
между абсолютными значениями напряженностей:
Из (9) и (7) получаем
Е - Ег -(- Е\,
(12)
Я = Я1-Я'"
(13)
ТЛч Я=уге,е?, то условие (13) можно записать в виде
(14)
В плоской монохроматической волне зависимость от пространственной
переменной определяется множителем вида
е-ш = е~'Кпг. (16)
Если через Е2 обозначить амплитуду напряженности электрического поля
преломленной волны, то условие непрерывности тангенциальных компонент
электрического поля на нижней границе (z=l) раздела сред запишется в
виде
?=?1<riV^,'. (17)
Учитывая (14), для тангенциальных компонент магнитного поля получим
# = (18)
Приравнивая (12), (15), (17) и (18) значениям ? и Я на гра-
ницах слоя, вычисленным из (9) и (11), найдем
УЪ (Аач+Ва~ч) = ?, + ?',, iVa [7 . \\ . . ( 1
iVb
Vb{Ab' + Bb-') =?1<Г'М*',
[("+4-)л'-(,-4-)вб-"]=я,е-
р
Решая эти уравнения, получим, в частности
_______1_______she______
?, 2 q cho -she ' 0°)
где
a==?In~S~- (2°)
Представлять решение в этой форме удобно, если р*<'/*, т. е.
когда q вещественно. Если же р2> 'Д, то q2<0; В этом 'случае
q и
а чисто мнимые. Положим
а = га', q - iq', где а', q' вещественны. Тогда
_______1_______sill g' 1______________________ /п | \
?, 2 q' cos о' - ip sin а' ' ' '
Если 1=0 (/<Х), то р=0, <7 = у2 и формула (19) дает
*'¦- lha=-th(ln/i;)------------?=?-. (22)
?i \ V nt } пг + tii
Таким образом, если толщина переходного слоя мала по сравнению с длиной
волны, то отражение практически происходит так же, как и в случае резкой
границы.
40
Если же l^k, то р2^> 1 и в формуле (10) членом '/4 можно пренебречь, т.
е. можно положить q' = p. Тогда из (21) получим для коэффициента
отражения
s,n' (PlnJt)
V -. (23)
Et
Ар2
Видно, что коэффициент отражения г является осциллирующей затухающей
функцией толщины слоя I. Амплитуда этих осцилляций
(24>
убывает обратно пропорционально квадрату толщины переходного слоя. Таким
образом, для слоев, толщина которых велика по сравнению с длиной волны,
отражение практически отсутствует. Этот вывод не связан со специальным
законом изменения показателя преломления (3), а относится к любым толстым
переходным слоям с плавно меняющимся показателем преломления.
3-й тип задач (3.3)
3.3.1. Монохроматический свет в виде плоской волны распространяется
из оптически более плотной среды в менее плотную так, что на границе
раздела происходит полное внутреннее отражение. Определить характер
световой волны в оптически менее плотной среде, если относительный
показатель преломления л!2.
Решение. Если полного внутреннего отражения не происходит, то световая
волна во второй среде имеет вид (ограничимся рассмотрением составляющей)
^2 II ^2II S*n
где угол преломления х связан с углом падения <р законом преломления
sin ?
_____L. -- и
sin*
(см. задачу 3.1.1).
Поскольку по условию задачи происходит полное внутреннее отражение, т. е.
tti2<l, а угол ф превышает критическое значение ф/t, определяемое
условием 5тфА=л!2,то можно формально написать
sin у "12
= cosZ= ± i 1, (2)
где i - мнимая единица.
41
Уравнение (1) удобно записать с помощью мнимой экспонен ты в виде
? Гш (t ysin*+zc°sx\]
Еп=Ап1те . в' (3)
Подставляя (2) в (3), получим
a JZL n/^L-i i \"(t-iLliUJL'l]
, о, V "•,. fmt? L I ""°2 /J
или
?2||
<bz Г sin* ч>
Физический смысл имеет знак "плюс" в формуле (2), так как в противном
случае при увеличении расстояния г амплитуда в (4) будет неограниченно
возрастать. Окончательно получим
^21|
Ш |/sln" ц>
Формула (5) описывает неоднородную волну, распространяющуюся вдоль
поверхности раздела сред в плоскости падения (т. е. в направлении у). При
этом амплитуда световой волны быстро уменьшается с глубиной проникновения
г. Эффективная глубина про-
^2 А 2
никновения есть величина порядка т. е. порядка дли-
ны волны.
3.3.2. Показать, что в случае полного внутреннего отражения
интенсивность отраженного света равна интенсивности падающего света.
Решение. Чтобы применить формулы Френеля
F' -F *g (У - X) . F' = - ? sin(y -X)
1Я 1II tg(? + Z) ' ^ U. И sin(* + x)
к случаю полного внутреннего отражения, перепишем их в виде
Е' -Е sin4,cos4,~ sin X COS х П1 ill sin у cosy -f- sin % cos x '
F' - E sinrcos% - sinx cos у ...
IX sin <p cos x + sinx cos <f * ' '
Подставив в (1) значения величин из формул (2) задачи 3.3.1 н помня, что
перед квадратным корнем необходимо брать знак "плюс", получим
, Д. я1,* cos<p - il^sin'f - Лг,г .
