Аналитические свойства амплитуд рассеяния в локальной квантовой теории поля - Хепп К.
Скачать (прямая ссылка):
Нас интересуют точки, которые лежат на оболочке голоморфности (k:k2=m2jy
0<j<3) (или в ее окрестности). Это ведет нас к рассмотрению многообразия
Жс С.Т, определяемого условием k\ - k\ =?1- ?2. Область Ж определяется в
терминах переменных Я1 и я2 следующим образом:
Ж{яСГ:я*-я* = 11*-11|}, (3.13)
8* 211
где
= + - m\f = m\--^(t + m\ - niff,
"*i = m\ - 77 (* + ml - mo)2 = ml - Yt У + m° ~~ m2)3-
Отметим, что
SDlf - pf = min {Mg - mj, Mg - mg},
?D1| - uj == min {Mg - m2, Mg - mg}. (3.14)
Мы обозначим также Ж>'=Ж-W- Образом области Ж относительно отображения ОТ
является множество
§Г(Ж) = {ги г2, г3<^&(T):zi - z3 = pf - р|.
Отсюда следует, что если X,- подобласть области е/?(Д)П'5!'0', то любое
аналитическое расширение в многообразии (zi, z2, z2: Zi=z2=m-ц!} области
(Х)П {zu Z2,z3:zi-z2=p?-p|} содержится в еГ {Ш(А) О Ж') (см. замечания в
гл. 2, § 2).
Отметим, что в области Ж все разности ?j-?у, фиксированы и равны m2j-т\.
Удобно пользоваться в еГ(Ж) вместо переменных Z\, z2, z3 переменными s
(или и) и z, где
z = J](^-m2)- Ф, (3.15)
yVO
Ф = 4 min (M2. - nifi = 4min{SlUg - 3Jtg - ц2}. (3.16)
На массовой оболочке z = -Ф. Мы имеем
з
5-]-^-фп = г + 2т^ + Ф- (3.17)
/=о 1
На Т имеем
s = г3 _]_ -L (т\ - т\ + mg - mg)2;
и = 2 (Zi + z3) - z3 -f ~ (mg,- m2 4- mg - mg)2; (3.18) 2 = 2(Zi-^) + 2
(z3 - pg) - Ф.
212
На ЦТ:
г = 4(г1-р2)-Ф = 4(г2-ц2)-Ф. (3.19)
Некоторые точки в "й? (Д) 0 ^
Лемма 3.8. Щ{А) ОТ1 содержит точки я=(яь я2), такие, что
Яу + Я/ = Uj, пР. - nl. = Vj(j= 1,2)
и выполняется одно из следующих условий:
1) U\ = V\ действительно >0, м2<ЯЛ2, 1тм2^0, Imo2> >0;
2) i"i=0; щ действительно >0, Imus^O, 1то2>0;
3) Ui = -vi действительно >0, 1ти23г0, lmo2>0-Доказательство. 1. Пусть щ
и oi действительны и
UiVi< ЯЛ2, Im"2>0. Рассмотрим диски
Д(да) = {я' = (я|, я2):я' = дае 4-Лея 4~ ?1тя, 1т ?>0},
где е=(еь е2) лежит в Л. Для 1тда>0 Д(да)с=Ж1 аЩ(Ь)ViT. Точки из А(0) с
достаточно малыми |?| также принадлежат А)П4^0: это следует из теоремы об
острие клина (примененной, например, к трубам:
Rl2+iTtu Rl2+iTE, Rl2+iTt,Rn+iTT,R12+iW&Rls+
+ i^*2i). В силу леммы 3.8 A(0)c§?(A) П Т-
2. Пусть ии V] действительны, "i>0, "х"!<391?, 1тм2 - =0, 1то2>0. Мы
снова рассмотрим диски
А (да) = {я' = (я^ я2):я' = дае -|- Re я -|- ? Im я; Im ? > 0}
и покажем, что А(0) содержит точки из$?(Д) С[Т. Это позволяет применить
лемму 3.8 и показать, что Д(0)с: СсЙ?(А)П^. Пусть я'=(я1, я2), я' = Лея4-
|1тя- вещественная точка в А(0). Она удовлетворяет, в частности, условию
я'\ =яь так чтоя12<ЯЛ2. Определяя о2 =Reo2+ 4-?Imo2, мы имеем два случая:
а) м2 > 0. Неравенства
Uzv'2 < ЯЛ| (т. е. я'2 < ЯЛ2),
("1 4~ "а) fa + v'2) < ЯЛ?2 (или (я; 4- я')2 < ЭЛ22)
213
выполняются для достаточно большого отрицательного V2, т. е. для
достаточно большого отрицательного В силу замечания б) существует
подмножество множества (ЭТ(А)ПТ' вида
{я": || я" - я' || < Р Ю, Im (я; - n2f ф 0}.
Для того чтобы показать, что это множество пересекает Д(0), мы должны
только показать, что существуют произвольно малые (комплексные) числа ю,
такие, что 1т<й>0 и
("1 - ц3) (vt - о*(r)) 9= о +
Это очевидно, если щ-и2=0 (так как 3&io >Mf0 >0) и если "1-и2ФО (условие
удовлетворяется для любого недействительного (о).
б) ы2 < 0. Неравенства
"3у2 < е. я? < Эф,
("1 - "3) (Oi - v2) < Щ0 (или л\ - я')2 < Щ0
удовлетворяются для достаточно большого положительного 02. Все остальное
доказывается аналогично случаю а).
Образ точек, удовлетворяющих условиям леммы
3.2 относительно отображений <гГ, содержит множество Я ={(*!, 22, 23):
Z\ действительно <50??; z2 действительно <0; lmz3>0}. Докажем это
утверждение шаг за шагом.
1. Пусть Zt и Z2 - действительные числа, 0<Zi<3&i,
z2<0. Полагаем щ = =V'zi>0; и2--\ тогда Imo2>
v2
>0=^1пш2>0. Если определим
2з - 2i + 23 + ]/& (v2 ~Ь 'и'')'
то мы сможем проверить, что при lmy2>0 z3 принимает всевозможные
значения, такие, что lmz3>0.
214
2- Пусть Zi=0, z2<0. Положим щ действительным строго положительным, гм=0,
u2=z2jv2 и определим z3=z2 + UiV2. При lmv2^>0zs может принимать все
значения С 1ш2з>0.
3. Пусть Z\ и z2 - действительные числа Zi<0, z2<0. Положим
"!=-"! = ]/ - Zi*, "а = -.
щ
Определим
23 = + z2 + V-Zi (v2 -
Мы можем проверить, что когда v2 принимает всевозможные значения в
верхней полуплоскости (Imu2>0), то z3 принимает (в частности)
всевозможные значения, такие, что lmz3>0.
4. Пусть Z\ действительно, zx<m\ , z2=0, a U\ - (строго) положительное
действительное число, щ = -,
Mi
и2=0. Определим z3=Zi + Uiv2. При Imu2>0 г3 принимает всевозможные
значения в верхней полуплоскости.
Таким образом, каждая точка в F\ может быть выражена как (я), где я
удовлетворяет одному из условий леммы 3.2. Покажем теперь, что
отображение открыто в этих точках. Заметим прежде всего, что отображение
еГ открыто в любой точке (яь я2), за исключением колинеарных Я1 и я2
(матрица Якоби имеет ранг 3, за исключением случая (яц я2)=0). В случае
колинеарных Я[ и я2 имеем либо я2 = ряь либо Я1=0. Но все точки в