Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
пеРеставляются ДРУГ г другом, при-
т. е. числа й- -ап и
чем одновременно их верхние индексы переставляются с нижними. Напомним,
что в п. 5 § 4 мы построили соответствие между спи-
"1 в7, ГЛ& Lai
норами из /?п и из
Ч ¦"1 1 ¦ ' ; ' / _ о
**1 ••• аА >_* Аа1 а/г а/"
5!-Ря К"^к Г =
а
(12)
Очевидно, что как раз оператор ? задает это соответствие. Нам нужно
убедиться, что формулы (10), (11) действительно задают представление
полной группы. Для этого достаточно проверить, что для любого оператора
Тд из представления (11) собственной группы выполняется равенство
57^s=r(,;)-1 = 7Wi
см. § 3).
Пусть бд] и {fx /jYJ - базисы из Rn и Rl, переходящие друг в друга под
действием оператора 5/
(/ = 1, ..., N).
запишется * в .базисе, (ev
Sei=fit Sft
Очевидно, что оператор fx> • • •. fN) матрицей
110 Е
HU о
а операторы представления (10) собственной группы, как это следует из
замечания в конце п. 5 § 4 о соответствии (12) между спинорами а*-1 •" и
матрицей вида
А" 0
1 0 0 . . 0
!•• ?== 0 1 0". . 0
0 0 0 . . 1
П. 2] § 5. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛНОЙ ГРУППЫ
263
Равенство STg S проверяется теперь непосредственно.
Итак, мы действительно получили представление полной группы Лоренца,
действующее в пространстве R(k, п) величин (а"' Как следует из
результатов § 3, представление
полной группы в пространстве R (k, га) (k ф п) неприводимо.
Дадим теперь общее определение величин
Пусть в каждой ортогональной системе координат задан
определенный с точностью до знака набор 2 X 26fii насел котоРие пРа
переходе от одной системы
координат к другой с помощью собственного преобразования
Лоренца g = ga преобразуются по формулам (10); при переходе же от одной
системы координат к другой с помощью пространственного отражения числа
j а*-1 j преобразуются по
формулам (11). Такой набор чисел называется¦ биспинором ран-
га (k, п).
Первый набор чисел у биспинора при сявственных преобразованиях Лоренца
преобразуется как спинор ранга (k, п) с k верхними непунктирными
индексами и с га нижними пунктирными индексами, а второй набор чисел -
как спинор ранга (и, k) с п верхними не-пупктирными индексами и с k
нижними пунктирными индексами.
При вращениях а = (а*)~1 первый и второй наборы чисел би-чинора
преобразуются одинаково.
Биспиноры ранга (k, п) образуют 2 X 2'" м-мерное линейное пространство.
Формулы (10) и (11) задают в этом пространстве представление полной
группы Лоренца, вообще говоря, приводимое. Построенное нами выше
пространство R (k, п) является, очевидно, подпространством в пространстве
всех, бисппноров, инвариантных относительно представления (10) и (11).
Бчспиноры, принадлежащие пространству R (к, га), будем называть
симметрическими бпспино-рами ранга (k, га) (они составлены из двух
симметрических спиноров). Таким образом, построенное нами выше
представление (10), (11) - это представление, действующее в пространстве
R(k, га) симметрических биспиноров ранга (k, га). В случае, когда k ф п,
оно неприводимо.
II. Рассмотрим случай, когда п - k. Все построения предыдущего пунк+а
здесь, конечно, остаются в силе, с той лишь разницей, что построенное
представление полной группы в пространстве симметрических биспиноров R
(k, k) (как следует из § 3) уже приводимо.
Однако в случае, если n = k (т. е. /0 = 0), неприводимое представление
полной группы можно задать в самом пространстве R\
264
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[ч. II
симметрических спиноров ранга (k, k) двумя неэквивалентными способами.
Оператор 5 определяется формулой
=±2
к____
.. 8"*р*8
8 .,а} *кН 01
"ft
0ft'
(13)
3. Неприводимые представления общей группы. Однозначные представления.
Как мы знаем из результатов § 3, всякое неприводимое представление полной
группы дополняется до однозначного представления общей группы, если
временному отражению t отнести оператор T-±.S, а полному отражению j-
оператор J=z±:E. Таким образом, в пространстве биспиноров любого ранга
можно построить неприводимое однозначное представление общей группы. При
этом в случае I (k ф п) операторы Т и J имеют вид
Т:
/ 0U . . г • ак - -К . 8"***8 . "101 ¦ 8 .X1 ' ""0п 01 • * "/J
•• 0ft
Ь'}," 01 • f ' ап •0ft ±2 8^' .. . 8а"**8 , . "101 л а1 • • .о
. . "ft 0ft 01 ' "ft •0ft'
/ а. .. '*;¦ г • "ft _ -К чн 0"1 ¦• "ft 0 1 ¦ • • 0 и / г *
01 • / ¦ "и _ •0ft + Ь*} - >, 01 -0* i't-h
(14)
I
а в случае II (k - ri) операторы Т, J, как и оператор 5, действуют в
пространстве спиноров ранга (k, k) по формулам
8"***8
'к ¦¦¦
"г?!
8 . ,а }
"ftPft 0i
(140
J: a.
:0f-
Двузначные представления общей группы. Как мы видели в § 3, всякое такое
представление порождает представление полной группы, состоящее из двух
сопряженных друг другу неприводимых компонент собственной группы. При
этом можно выбрать базис (см. п. 5 § 3), где операторы S, Т и J
записываются матрицами
' I - IE О
О IE #
Обратно, всякое представление собственной группы, состоящее из двух
сопряженных друг другу компонент, можно дополнить до неприводимого
