Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
то и оператор 7Де коммутирует со всеми операторами Та. В силу
неприводимости представления отсюда следует, что Т_е = )Е, где Е-
единичный оператор. Так как, с другой стороны, (Т_е)2 = Т{-е)2== = Те -
Е, то X2 = 1; отсюда следует, что X --= -)- 1 пли -1. В первом случае Т_е
= -\-Е (Х= 1), Та~Т_а и мы имеем однозначное представление; во втором
случае Т_е~ - Е и 7Да=-Та, т. е. представление двузначно и операторы Т_а
и Та отличаются знаком.
Заметим, наконец, что из приведенного только что рассуждения вытекает,
очевидно, что представление группы Лоренца двузначно или однозначно
вместе с порожденным им представлением группы вращений. Другими словами,
каждая неприводимая компонента представления группы вращений,
порожденного неприводимым представлением собственной группы Лоренца g ->
Т , однозначна или двузначна одновременно с этим представлением. Это
замечание будет использовано в следующем параграфе для определения
однозначных и двузначных представлений собственной группы Лоренца.
Легко проверить, что двузначное представление собственной группы Лоренца,
рассматриваемое как представление группы 91 комплексных унимодулярных
матриц с определителем, равным 1, является точным представлением этой
группы, т. е. таким, что Ф Т(Ч, если ах ф аг. Однозначные же
представления собственной группы Лоренца не являются точными
представлениями группы 91, так как Та-Т_а. Легко, однако, показать, что в
этом случае Tai=Ta.2 только тогда, когда ах = -+-До.
186
ГЛ. 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
[Ч. II
9. Двузначные представления о5щей группы Лоренца. Общая группа Лоренца
получается из собственной группы Лоренца G0 добавлением трех отражений s,
t, j (s-пространственное, t - временное, j - полное отражение) и
всевозможных элементов вида sg', tg', jg' (g' - элемент собственной
группы).
Заметим, что преобразования е, s, t, j (е - тождественное преобразование)
образуют коммутативную группу с таблицей умножения
e s t J
e s t j
s e j t
t j e s
j t s e
Эту группу будем называть группой отражений.
Пусть теперь задано какое-нибудь представление общей группы g -> Тд. Это
представление порождает представление как собственной группы g' -> TU',
так и группы отражений т ->71. (т = е, s, t, J).
Рассмотрим сначала случай, когда представление g' -Тд< собственной
группы, порожденное представлением общей группы, двузначно, g' ->¦ "I-
Тд' .
Естественно, что при этом и представление группы отражений также
двузначно:
е -> Лд Е, s ->¦ Лд S, t-*-dzT, / -> -+- J.
Операторы S, Т, J перемножаются, очевидно, следующим образом: 5Г==+гУ,
SJ- zt Т, TJ=±J,
S2 = zb Е, T* = ±zE, Р =
Из этих равенств легко вывести, что операторы Т, S, J либо все
одновременно коммутируют:
TS = ST, JS = SJ, TJ=JT,
либо одновременно все антикоммутируют:
= - ST, JS = - SJ, TJ= - JT.
Соответственно этому рассмотрим два случая.
Первый случай. Операторы S, Т, / коммутируют. В этом случае выбором
знаков у этих операторов можно добиться, чтобы они перемножались
соответственно таблице (16):
TS=zST=J, JS = S, J=T, JT=T, J=S,
S2 = 72 = V2 = E.
§ 1. ГРУППА ЛОРЕНЦА
187
Очевидно, что в этом случае операторы Е, S, Т, J задают однозначное
представление группы отражений е -> Е, s-+S, t -*¦ Т, j -*¦ J,
Представление общей группы, приводящее к только что описанному
однозначному представлению группы отражений, будем называть однозначными
представлениями общей группы (двузначность этого представления связана
лишь с двузначностью представления собственной группы).
Второй случай. Операторы S, Т, J антикоммутируют. Легко проверить, что
выбором знаков у этих операторов можно добиться, чтобы они перемножались
с помощью таблицы
Е S Т J
Е Е S Т J
S S Е J т
Т Т - J Е -S
J J - Т S - Е
Легко видеть, что из восьми операторов dzE, dzS, dzT, -+- J нельзя никак
выбрать четыре оператора Е, S, Т, J, образующих однозначное представление
группы отражений; другими словами, представление этой группы е -+dzE, s -
+dzS, t-^-dzT, j -^-dzJ существенно двузначно.
Представление общей группы, приводящее к такому двузначному представлению
группы отражений, мы назовем двузначным *) представлением общей группы
(его двузначность связана не только с двузначностью представления
собственной группы, но и с двузначностью представления группы отражений).
Заметим, что представление общей группы может быть двузначным, даже если
порождаемое им представление собственной группы однозначно; достаточно
только, чтобы представление группы отражений было двузначным.
Соответствующую конструкцию мы приведем ниже (см. § 3).
В заключение отметим, что, в точности так же как двузначное представление
собственной группы можно рассматривать как точное однозначное
представление группы 21 комплексных матриц второго порядка с
определителе?.!, равным 1, так и двузначное представление группы
отражений можно рассматривать как точное однозначное представление
группы, состоящей из восьми элементов е, е', s, s', t, t', j, j' со
