Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
к реперу еи во, е3, и
будут числа ст= amn{g)cm (см. формулу (10)). Значение вели-
чины в точке Р сферы будем задавать ее компонентами относительно репера с
началом в точке Р, зависящего от какого-либо вращения g, переводящего в Р
северный полюс. Компоненты величины / в точке Р относительно такого
репера будут при этом определенными функциями от вращения g cm(g) (-
/0^от<^/0), полученными из исходных компонент величины /(Р)
преобразованием Ug.
Выясним, как преобразуются функции cm(g) при произвольном вращении g0.
Репер, зависящий от g, после вращения g0 заменяется.
§ 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ И ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ
117
как мы видели в п. 1, на репер, зависящий OTg-Qg'. С другой стороны, при
вращении gQ величины / и реперы переносятся из точки в точку и
преобразуются (поворачиваются) согласованно, и поэтому компоненты
величины / в соответствующем базисе после вращения не изменяются. Отсюда
мы видим, что
с'т teg') = Cm (g)
или, заменяя g0g через g,
c'm(e) = cm{go1S)- (12)
Мы видим, что действительно функции cm(g), определяющие величину,
преобразуются при вращении g0 независимо днг о г друга.
Введя, как и в п. 1, вместо cm(g) эквивалентные им функции ст(ё) -
ст(ё~1)> получим из (12) преобразование для cm(g), отвечающее вращению
g0:
Tgjcm(g)=~Cm(ggo)> (13)
т. е. преобразование для функций cm(g) при любом т совпадет с
преобразованием, изученным в § 7.
Нам нужно разложить каждое из этих представлений на неприводимые. Это
проще всего сделать, если функции cm(g) специальным образом зависят от
первого угла ср, а именно, если
cm(g) = cm (?!. 6- ?2) = e~imbcm (0, 6, о2). (14)
Функции такого вида разлагаются по элементам т-х строчек всех матриц Т1д,
т. е. по функциям Tlmn^0, ср2) с фиксированным значением т.
Но если компоненты величины / имеют вид (14), то, подвергнув
пространство вращению на угол ср* вокруг оси еъ, т. е. прибавив
ср*
к углу cpj, мы умножим каждую функцию ст (срх, 0, ср2) на Это значит, что
матрица, отвечающая повороту вокруг оси Oz, диагональна, т. е. базис
состоит из собственных векторов этой матрицы *).
Итак, окончательно получаем следующий результат. Для правильного
разложения поля величин f(P) на поверхности сферы, преобразующегося при
вращении g0 по формуле
TgJ{P)=UgJ(g-'P); (15)
мы должны поступить следующим образом. Сначала задать величину f(P) в
каждой точке Р со сферическими координатами ср и Ь ее компонентами (ср,
&) в каком-либо базисе, состоящем
*) Из результатов § 2 следует, что этот базис с точностью до нормировки
есть введенный там канонический базис.
113 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
из собственных векторов преобразования, отвечающего вращению вокруг оси
Oz, Затем перейти к компонентам cm(g), зависящим
от вращения g = g(cplt 9, <р2), где ссь = ^ -ср, 0 - 9, подвергнув
величину | с^ - срц 0 j | преобразованию Uq, отвечающему этому
вращению, После этого разложить каждую функцию cm(g) = - ст (?и 6. Тг) 8
ряд по элементам т-х строчек всех матриц 1д для всех l^-т, т. е. положить
СО
cmi3\< Тг) == -L атп.,пп (ср1; 0, ср2). (16)
l~m ?i -= -I
В заключение этого пункта остановимся на случае, когда разлагаемая
величина преобразуется по произвольному представлению группы вращений (а
не обязательно по неприводимому, как предполагалось выше). В этом случае
можно, конечно, разложить величину на слагаемые, каждое из которых
преобразуется по неприводимому представлению (разложить представление на
неприводимые), и затем с каждым из слагаемых поступить, как указано выше.
Однако достаточно просто задать-величину компонентами, которые при
вращении на угол ср вокруг оси Oz умножаются на e~imt, где т - целое или
полуцелое, потом преобразовать ее к сферическим координатам (базису-е9,
е8, ег) и затем т-ю компоненту разлагать
по функциям ТтП(уи 0, ср2) (l^m, -/<><;/). При этом в случае приводимого
представления в отличие от неприводимых одни и те -ке значения m будут
встречаться более чем по одному разу, т. е. различные компоненты будут
раскладываться по одним и тем же фунь-циям.
3. Пример. Поле тензоров второго ранга. Поясним сказанное в п. 2 на
простом примере тензоров второго ранга й = йу. Такой тензор есть
величина, преобразующаяся по приводимому представлению размерности 9,
разложение которого на неприводимые было указано в § 5.
Найдем компоненты тензора йу, нужным образом преобразующиеся при вращении
вокруг оси Oz. Для этого воспользуемся тем, что мы знаем компоненты
вектора ait ведущие себя нужным образом при вращении вокруг Pz (см. п. 1
этого параграфа). А именно, это компоненты ах-iay = ax- ia2 (умножается
на ?~4?), аг - аъ (умножается на 1), ах -f- iay = аг -f- ia2) (умножается
на е1- . Компоненты тензора второго ранга преобразуются при вращении как
произведения компонент двух векторов.
Поэтому сначала выделим у такого тензора три группы компонент,
различающиеся по действию вращения на первый из индексов: fly-/fly, a3j,
fly-f-/ay (J- 1, 2, 3), а затем проделаем в каждой
