Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
такой замены преобразование (8) запи-
шется в виде
а'к(g) = 4(1) = "й(До"'g~') = ак((g. go)~1) = ак(ggo)'
т. е.
а'к (g) = аь (gg0). (8')
Мы будем рассматривать в дальнейшем вместо ах, а2 и а3 функции ах, а2 и
а3 от g. При этом, вспоминая то, что нам известна зависимость старых
функций ах, а2 и а3 от аргументов cpt, 6 и ср2, и заменяя эти аргументы
на тс - ср2, 0, тс - cpi, мы можем сказать, что новая функция а3 не
зависит от ср2 и что
a+(<Pi> 0, 9г)~ - (<Pi. е> 0) = Ц" + ia")'
а_ (cpi, 0, 92) - - е*ъа_(<рх, 0, 0) = ?*?> (а? - ia3).
Точка Р, в которой рассматривается вектор а с такими компонентами, имеет
теперь сферические координаты - <pi и 0. Отсюда видно, каковы те
неприводимые представления, на которые разлагается каждое из трех
полученных представлений для а+, а_- и ат. Действительно, функции аг, как
не зависящие от срг" разлагаются по функ-
п, 2] § 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ И ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ 1 15
циям, стоящим в нулевых (центральных) строчках всех матриц Тд(1~0, 1,2,
...), т. е., как мы это видели и раньше, по сферическим функциям от Y-<Pi
и 0. Функции а+(срх, 6, ср2) содержат множитель такой же, как элементы
первых строк матриц Тд -
обобщенные сферические функции Tin(<plt б, ср2), и поэтому они
разлагаются в ряд именно по этим функциям.
Аналогично функции а_ (<pt, б, ср2) разлагаются по обобщенным сферическим
функциям 7i t n(<pi, б, ср2).
Итак, нами доказано следующее. Пусть задана векторная функция а(Р) на
поверхности сферы. Разложение этой функции в ряд, инвариантное
относительно вращений, получается следующим образом. Берутся в точке Р со
сферическими координатами ср и & компоненты вектора по параллели,
меридиану и радиусу av и аг и составляются по ним функции трех переменных
а+, а. и аг по следующим формулам-.
а+(cpi, б, срг) = е-*Ма<р(ср, б) -j- (ср, 0)1,
Я-OPi. е. ср2) = е<ь[а9(ср, 0)-- ш9(ср, 6)1, (9)
аг (срг, б, ср2) = аг (ср, б), где ср = -ср^
Каждая из этих функций разлагается в ряд по своему набору обобщенных
сферических функций, а именно, функции а+(срг, б, ср2) раскладываются в
ряд по функциям Т\п(срх, 0, ср2)(/=:0, 1, 2,
- /<"</)¦ а- (?v е> ?г) по Функциям ТLi" (cpi, 6, срг) и функции
M?i> 6. ?г) по функциям Тг0"(<?1, 6, <р2) = ]/~'Р1* 9)-Отбрасывая в
первых двух рядах общий множитель e±i(& и заменяя везде у - cpt через ср,
мы получим разложения компонент
вектора а^±1ай и аг, обобщающие соответствующие разложения скалярных
функций, данные а § 3.
2. Разложение произвольных величин. В п. 1 мы рассмотрели задачу о
разложении функций, значение которых в каждой точке есть вектор
трехмерного пространства. Перейдем теперь к случаю, когда в пространстве
задана функция f{x), значение которой в каждой точке есть величина,
преобразующаяся по неприводимому представлению веса 10, т. е. задано поле
величины /. Это значит, что в каждой точке х пространства нам заданы 2/0
-f-1 чисел ст (- - компонент величины /, которые при вращении gQ
подвергаются линейному преобразованию
20
Cm = 2 атп (§о) *-"• (10)
п=-1 о
116 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
Преобразование (10) мы будем, как обычно, записывать так:
f' = UgJ- (ЮО
Поле величин пои вращении g0 преобразуется следующим образом: во-первых,
в результате вращения g0 пространства в точку х приходит значение
величины, отвечавшее до этого точке х, и, во-вторых, величина
подвергается преобразованию Ug". Таким образом, при вращении g0 величина
f(x) заменяется на f (х) - U gJ[g~lx'}) т. е. мы имеем преобразование Тда
поля величин, определенное формулой
TgJ{X) = UgJ{g-lx). (11)
(В случае векторного поля векторы подвергались тому же вращению g0, что
и все пространство, и поэтому мы получали формулу (1)
Тда (х) - g0a (g'0'1-^), являющуюся частным случаем формулы
(11).)
Как и в случае векторного поля, очевидно, что эти преобразования образуют
представление группы вращений.
Ограничимся, как и в п. 1, полем величин, заданным на поверхности
единичной сферы f (Р) =/(&, ср), и поставим задачу об инвариантном
относительно вращений разложении этого поля, аналогично тому, как мы
делали это для векторного поля. Для этого так же как и там, введем вместо
обычных компонент величины 2/0-f-1 функции от трех переменных <pt, 0, (r)2,
т. е. от вращения g, определяющих величину / и преобразующихся при
вращении g0 независимо друг от друга. Мы получим тогда 2/0 -|- 1
различных представлений, каждое из которых затем легко будет разложить на
неприводимые.
Чтобы определить компоненты величины, зависящие от вращения^,
воспользуемся соответствием, которое мы установили в п. 1 между
вращениями g и реперами с началом в произвольной точке сферы, третий
вектор которых направлен по нормали к поверхности. Значение величины в
данной точке сферы мы можем задавать компонентами, отнесенными к
различным системам координат (различным реперам) в пространстве. Если ст
- заданные компоненты величины и g-вращение, переводящее тройку
координатных векторов в векторы elt ег, е3, то компонентами, отнесенными
