Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, из самого определения преобразования Тд следует, что
преобразование Тд^, отвечающее произведению вращений g0 и gly совпадает с
последовательным осуществлением преобразований TSl
и тд0-
Тдад1=ТдоТд1. (2)
Точки любой сферы с центром в начале координат остаются после вращения
g"0 на этой же сфере. На этом основании мы при изучении преобразований Тд
ограничимся функциями, заданными на поверхности единичной сферы, т. е.
функциями а{Р) = аф, ср), где а - вектор, зависящий от точки Р сферы со
сферическими координатами Я и ср. Преобразования Тд, как это следует из
формулы (2), осуществляют представление группы вращений в пространстве
векторных функций*) на поверхности сферы. Выделим из пространства
векторных функций на сфере инвариантные подпространства, в которых
действуют неприводимые представления. С этой целью найдем конечные
системы векторных функций, которые переходят в свои линейные комбинации
под действием преобразований Тда.
Для поля скалярных функций такими системами являются сферические функции
данного порядка I.
В случае векторного поля также можно было бы разлагать каждую компоненту
вектора а(Р) по сферическим функциям. Однако такое разложение не является
удобным, так как при вращении каждая компонента вектора переходит в
комбинацию всех трех компонент, т. е. компоненты перепутываются между
собой.
На самом деле существует более удобный способ задания векторного поля.
Например, в качестве одной из компонент вектора целесообразно брать
компоненту аг(Р), нормальную к поверхности сферы. Так как при вращении
нормальная компонента ar (Р) в точке Р заменится снова на нормальную
компоненту вектора в точке g^lP>
TBoar(P) = ar(g-1P),
*) Это представление будет унитарным, если ввести скалярное произведение
двух векторных функций а(Р) и b (Р) по формуле
2тс тс
(а(Р), b (Р)) = II {ах (ft, ср) Ьг (ft, ср) + а2 (ft, ср) 62 (ft, ср) +
о о _______
+ as (ft, ср) Ьъ (&,|ср)> sin ft db df,
где ft* - сферические координаты точки Р сферы, asj и - компоненты а п b
в какой-нибудь системе координат.
П. 1] § 8. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ И ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ 111
то функции ar (Р) преобразуются при вращении как скалярные функции (ср. §
3). Задача о разложении этого представления на неприводимые решается
разложением функций аг(И, ср) в ряд по сферическим функциям. Поэтому в
качестве одной из компонент будем в дальнейшем брать аг(Р).
Сейчас мы дадим способ задания векторного поля с помощью таких трех
функций, каждая из которых при вращении преобразуется независимо от
других.
Функция на поверхности сферы есть функция двух переменных И и ср.
Основной прием, быстро приводящий к решению задачи, состоит в том, что
вместо функций от & и ср переходят к функциям трех переменных cpt, 0, ср2
(функциям от вращения §¦), что дает возможность использовать результаты
предыдущего параграфа.
С этой целью рассмотрим в точке Р сферы какой-либо ортогональный и
нормированный репер еи е2, е3, третий вектор которого е3 направлен по
нормали к поверхности сферы. Каждый такой репер можно задать вращением g,
которое переводит репер, расположенный в северном полюсе с векторами,
направленными по осям координат (будем называть его в дальнейшем
нормальный репер), в данный.
Подвергнем все векторы репера, соответствующего вращению g, некоторому
вращению g0. При этом он перейдет в новый репер. Так как первый репер
получается из нормального вращением g, а второй получается из первого
вращением gQ, то второй репер из нормального получается вращением g0g, т.
е. он описывается вращением gog.
Каждый репер, как было указано выше, описывается вращением g, т. е.
эйлеровскими углами сс1, 0, ср2. Выясним, как задать репер с помощью ср1;
0, ср2.
Подчеркнем, что элемент группы g описывает и положение репера и точку Р
сферы, являющуюся его началом. Сферические координаты И и ср точки Р, в
которую переходит при вращении g северный полюс сферы, связаны с углами
Эйлера вращения ^соотношениями
& = 0, ср = ср2 - (3)
т. е. эта точка не зависит от первого эйлерова угла ср^*).
*) Декартовы координаты точки, в которые переходит северный полюс сферы в
результате вращения g, суть элементы 3-го столбца матрицы \\gik II, т. е.
числа sin sin 0, -cos sin 0, cos 0 (см. п. 2 § 1). Сравнивая эти
выражения с выражениями декартовых координат той же точки через ее
сферические координаты :os f sin &, sin <р sin &, cos &, мы и получаем
формулу (3).
Рис. 7.
112 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
Третий, нормальный к сфере, вектор репера полностью определяется
положением начала репера и поэтому также не зависит от срг Векторы е1 и
е2 расположены в касательной плоскости к сфере в точке Р и зависят от
срх. Чтобы найти эту зависимость, рассмотрим два вращения g - g(pu 6,
ср2) и gx = g(<?x -f-ср*, 0, ср2) с различными значениями первого из
углов Эйлера. Очевидно, что эти выражения переводят нормальный репер в
два репера с началом в одной и той же точке и, следовательно, общим
