Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 39

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 132 >> Следующая

ДОБАВЛЕНИЕ К § 7 105
вектора т) будут элементами первого столбца матрицы В § 1
мы выписали матрицу ||§й|| как функцию от углов Эйлера (см. формулу (9) §
1). Подставив элементы g-u, g21 и g3X этой матрицы в соотношение AtTg =
g11TgA1-\-g21TgA2-Jf-g31TgA3, мы получим равенство
ТдАх = (cos <рг cos ср2 - cos 0 sin cpj sin cp2) A1 Tg
-f- (sin cp! cos 92 + cos (r) cos Ti s'n T2) A2Tg-\-s\n cp2 sin 0 A3Tg.
Для дальнейших вычислений удобнее будет заменить матрицы Ак через Н+, Н_
и Н3 по формулам
Л1==-4(Я++Я_), А2 = \(Н_ - Н+), A3 = -iH3.
Сделав это и собрав коэффициенты при Н+ и Н_ в правой части, мы получим:
Тд (Н+-\-Н_) - (cos ср2 - i cos 6 sin ср2) e~i<flH+Tg-\-
-)-(cos (r)2 + г' cos (r) sln 9 2) ei(fiH_Tg- 2 sin <p2 sin 0 H3Tg.
Применим теперь преобразования, стоящие в обеих частях равенства, к
вектору канонического базиса fn и сравним коэффициенты при fm в
полученных выражениях. Учитывая, что Tgfn -¦ 2 Tmnf m' Н+fn -
m
- f n+v ^-fn - ^nfn-v H3ftifn> найдем следующее со-
отношение между функциями Tmn:
1 n+l +~ n - l - (COS 92 / COS 0 Sin 92) ^ ^m 1, п !
-j- (cos 9а -f- i cos 6 sin <p2) e4' am+1 Tm+l< " - 2m sin 92 sin6Tm,".
Подставим в это соотношение Tm " = е~гтъ итп (0) е~1щ* и умножим его на
е'1т,т'>+гп'?\ Мы получим тогда связь между функциями итп(6), имеющую
место при любых значениях срх:
+ п + 1^ п - 1 ^ (COS 92 ^ COS 0 Sin 92) п
I
+ (cos 9a +1 COS 0 sin cp2) "m+i, " - 2m sin ?2 sin 0 amn.
_i_
Положив в этом соотношении cos 92 =----------------------~-и sin 92 =-^-
и приравняв коэффициенты при е*"2 и e_lf2 в левой и правой частях,
получим окончательные формулы
ап+1^т, п+1: ~2 О "I- ^тЯт-1, п Н 2 ^ ^ ^m+l^m+l, п
- lm sin 6атп, ^
&п^т, п - 1 2~ ^ ^тит-1, п Н ^ ~I- ^ &т+1ит+1, п ""f~
-\-im sin 0 итп. (5')
106 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [Ч. I
Эти формулы связывают три соседних элемента "-го столбца с элементом "-)-
1-го или п-1-го столбца. Здесь через птп{Ь) обозна-
как и выше, можем получить аналогичные формулы, связывающие три соседних
элемента строки с элементом выше или нижерасположенной строки:
Если в равенстве (4) взять tq = (0, 1, 0), мы получим те же самые формулы
(5), (5'). Если же положить tj = (0, 0, 1), мы получим формулу
уже выведенную другим путем раньше.
Перейдем теперь к выводу формул, связывающих между собой элементы Т1тп
матриц Тд с различными значениями I (отвечающих различным неприводимым
представлениям). Чтобы сделать это, воспользуемся результатами п. 4 § 4 о
разложении произведения двух неприводимых представлений на неприводимые.
Мы видели там, что произведение g^-Tg неприводимого представления веса 1
на неприводимое представление веса I разлагается на три неприводимых
представления: g ->- Tlg+l веса / -f- 1, g-> Т1д веса I vi g -> Т1д~х
веса I- 1. Базис ekfm_k в пространстве Ry X в котором действует
представление, связан с каноническими базисами {g1^1}, \glm} и {giT*} в
пространствах, в которых действуют неприводимые представления g -> Тд+1,
g -Т1д и g-->Tlg~l, со о т в стст в е н н о, формулами
чено Ргтп(сos 0). Воспользовавшись тем, что итпф) - и.пт{9), мы>
- in sin 6"mn, (6)
(б')
. п - т cos 0
sin 0
(7)
Значения коэффициентов С\к приведены на стр. 64 (формула (9) § 4).
Обозначим теперь через Тгд матрицу неприводимого представления веса I в
каноническом базисе и применим преобразование Тд к левой
ДОБАВЛЕНИЕ К § 7 107
и правой частям каждого из равенств (7). В левой части, пользуясь
определением произведения представлений, получим:
T'genfm-h - Т1декТ1д/т_к -
т ~,Z +1 1 + 1 , т -pi I I т ^1-11-1
- Ck + 2,l*g gm -Т-Ск + 2,21 ggm^Tck+2,Zl д grn
(* = -1, о, 1).
Обозначая элементы матриц Тгд через Tlmn, найдем из этого равенства
соотношение
{Т-\ив-\ -f- Т0 *е0+ 2 Tj, m-kfj -
2тть -f-1 Z-f-1 I m 'jfl . X j Tib *t*T - 1 Z ~~ 1
Ck+2ijmgj -T~Ck+2,2Jjmgj~T~ck+2,zijmgj •
Заменим теперь в правой части векторы gj+1, g], glj~X через e_lfj+l,
e^fj, ejj-i по формулам (7) *) и сравним после этого коэффициенты при
векторах e_-Jj+v e0fj и e1fj_1 в левой и правой частях получившегося
равенства. Мы получим три соотношения, зависящих от k. Придавая в каждом
из этих соотношений числу k три возможных значения- 1, 0,
1 и подставляя функции Тт" (ср15 0, ср2) (см. вторую
матрицу § 7 на стр. 95), найдем девять рекуррентных формул:
711 rjCl-b-1 j 1 Til rgl 3 I 111^1 - 1 j 1 /-I I ... C\
?uTjm c\2Tjmc\2-\-c\3Tjm C\3 - -y (l-)-cos 0) e
rtl'rl + l j 1 Tib т"? 7 I Tib -тЛ - 1 7 i • r\
i'fi'rl
€\1 T'm С21 -|- C\2TjmC22^r C\zTjm Сг3---- ~ Sltl 0 в Tjt m + \ (
ТП r~ril -f-1 "7 | 777 тЛ j i 77b *тЛ ¦- 1 j 1 / - л Л 1\ ^фг -
Cll 1 jm c3\ "i- Cl2*'mC-d2 "1" С\%ТкШ C33 = *2"(COS0 1) e *;-
ltm + U
Tib тЛ+ \ J I TTb тЛ j I m 'T'l - 1 .7 t • f\
i,<?n тЛ
C21 Tjm С n -\-C22TjmC\2. "j- С 23 Tj m Cl3 = в ^ + m1
Til тЛ+l j I 7Ц -p\ 3 I TYl-pl - \ ,7 _ _ _ ft Z
C21 1 jm ^21 C22I :mC22 ^23 13m ^23 - cos 0 * m >
.Tib 'T'l -j-1 j i TTb 'T'l ?' I 7ТТЬ '~r'l - 1 J I
• д - ГтЛ
C21*jm c3l "P C22ijmC^2 "p ^23* :m C33 - y--^- sin (r) ? *j-\>mi
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed