Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Преобразования
UgJ(g)=f(ggi)
образуют в этом пространстве бесконечномерное унитарное представление*).
Оно называется регулярным представлением группы вращений. Неприводимые
представления, на которые оно разлагается, нам известны: это
представления, действующие в подпространствах обобщенных сферических
функций Thn(vv 0, <р2) ПРИ фиксированных I и т. Нетрудно убедиться, что
этим исчерпываются все неприводимые представления преобразованиями U0l.
Действительно, в каждом подпространстве, в котором действует
неприводимое представление веса I, должен, согласно общей теории,
существовать
элемент, удовлетворяющий уравнениям H+f= 0, т. е.
(см. формулу (12)) уравнениям i^- = If и ctg 0 +
df
ф-г^=0. Решение первого уравнения имеет вид/=/?(0, ср2)
а второе после подстановки этой функции принимает вид
дР . I дР . п
Щ- + д---------I Ctg 0Г = 0.
(38 1 sm 0 <3'f2
Периодические по ср2 решения этого уравнения могут быть записаны в виде
Д(6, ср2) = 2 um{b)e~im^,
где ит(Ь) удовлетворяет уравнению
йи , т - I cos 8
и - 0.
М 1 sin 6 Отсюда (см. формулу (17) этого параграфа)
,sinz 6
ит(%) = С-
tgm-s 2
*) Унитарность представления следует из того, что введенное скалярное
произведение функций /) (?•), /2 (g) инвариантно относительно умножения
справа на элемент g0 (см. п. 3 § 1).
ДОБАВЛЕНИЕ К § 7
103
Возможные значения т определяются из условия принадлежности функции ит(Ь)
e~im^е"а'р> гильбертову пространству, т. е. из условия сходимости
интеграла
It
J \ ит (0) |2 sin 0 db.
о
Полагая cos0 = jx, легко убедиться в том, что этот интеграл сходится лишь
при условии, что -1ф(тф.1. Но в этом случае полученные нами решения
являются линейными комбинациями обобщенных сферических функций.
Таким образом, разложение регулярного представления на неприводимые
означает, что каждая однозначная функция на группе вращений с
интегрируемым квадратом модуля по группе разлагается в ряд по обобщенным
сферическим функциям Tlmn{cpt, 0,.ср2). Функции Tlmn (cpt, 0, срз) и
Т1т'П' (ср1, 0, ср2) ПРИ 1'Ф1 ортогональны между собой, так как они
принадлежат ортогональным инвариантным подпространствам, в которых
действуют различные неприводимые представления группы вращений. При 1' -
1 и m фт они также орто-
2к
гональны, так как J eim'^ d<f2 = 0. Аналогично ортогональ-
о
ность имеет место при V = I и п'фп. Интеграл же от квадрата модуля каждой
из функций Тгтп (срх, 0, о2) по группе:
2к tz 2тс
i / / f \Т1тп{^1, 9. ср2) Г Sin 0 rfcp1 rf6 rfcp2 = щгг
ООО
Окончательно можно сформулировать следующую теорему: совокупность
обобщенных сферических функций Ттп(ср1( б, ср2) (I-целые) образует полную
ортогональную систему в пространстве функций /(?!, 0, ср2) (О^б-^тг; 0 ^
<pls ср2<2и), если скалярное произведение задается формулой (32).
Добавление к § 7. Рекуррентные соотношения между обобщенными сферическими
функциями
Между обобщенными сферическими функциями Т1тп существует целый ряд
рекуррентных соотношений. Часть из них связывает между собой обобщенные
сферические функции одного и того же порядка (с одним и тем же Г), другая
часть связывает функции различных порядков.
Рекуррентные формулы, связывающие сферические функции данного порядка, мы
уже встречали в п. 4 § 7. Они вытекают из соотношений H_Tmn = a,nTm,n-i и
НТпт - T'm, п+1 и после
104 гл. 2. исследования представлений группы вращений [ч. i
подстановки операторов Н_ и Н+ из формулы (12) § 7 и замены е-*тъ итп(Ъ)
е~{пъ
dumn от - п cos
Ттп через е Ьпъ итп(Ь) e~in^ могут быть записаны в виде *)
М sin 0 ат,п 13-пат,п-1>
dumn . от - п cos 0
М "И Sin 6 ит,п- 1%п+1ит,п+\-
После подстановки jx = cos0 эти формулы приобретают вид
1П 1ар1шп^) m-mf. г i
У Р* "Т~ у? ШП -1ап Рт,п~1>
ЛП ТГ9аРШП^) т~ W П1 , ч г,1
У Iх ^ ^2 Ршп (рО 1&П + \РТП, п+1"
где
а" = {I -(- п) (I - п-\- 1).
Как было показано в § 7 (п. 4, формула (26)), атп (0) = ипт (0).
Подставляя ипт(В) вместо итп в формулы (1) и заменяя т на п, а и на от,
мы получим формулы
dUmn _ п - т cos 8 _ _ )
dd sin 6 тп La-mum-1, п,
} (2)
dumn . п - от cos 0 ____ . I 47
~dd ' siiTi Umn lam+lum+l, n• j
Из каждой пары формул (1) и (2) можно вывести соотношения между тремя
последовательными элементами строки (или столбца), уже не содержащие
производных. Они имеют вид
0 . от - л cos 8 __
an+1 ит, п+1 ап Чт, п-1 ^1 sjn g '
0;л - от cos 0 __ /0/s
%т+1ит+1,п ат um-l, п ^тп> (о)
где опять через итп(0) обозначено A(tm)"(cos0).
Формулы иного типа можно получить, если воспользоваться одним свойством
матриц представления, выведенным в § 2. А именно, в п. 2 § 2 мы показали,
что если 7) = (tj1, tj2, tj3) - некоторый вектор и А = А{Ц1~\-А2ц2-\-гДе
\ - матрицы, отвечающие бесконечно малым поворотам вокруг осей координат,
то для любого вращения g имеет место формула
Wh=^*- (4>
где 7]=g7] и А^ ~ А1т]2-j-A27]2-f-А3т]3. Умножим равенство (4) справа на
матрицу Тд и положим т)г=(1, 0, 0). Тогда компоненты
(О
(!')
*) Для краткости мы обозначаем Pm"(cos 0) через итп(6).
