Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
?+*¦?+В g+">- - ^ ^]-о-
Заменой переменных
• 2 0 т - sin2 y >
I m-п | I m+n |
U (0) = т 2 (1 - т) 2 V (т)
92 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
[ч. I
это уравнение приводится к гипергеометрическому уравнению
В следующем пункте будет найден явный вид функций итп(8).
4. Обобщенные сферические функции. Функции Ттп{^ъ 0, ср2) при любом т
являются собственными функциями оператора Нг, отвечающими собственному
значению п этого оператора. В частности, T-miiyк 6, <Рг) отвечают
наибольшему собственному значению I. Отсюда следует (см. § 2, п. 3), что
они должны удовлетворять уравнению Н+Ттг(<.ри 0, ср2) = 0 или
Подставляя в это уравнение 8, <?2) = е-{тъит1(в)е-г'1'г- и сокращая на
мы найдем обыкновенное дифференциаль-
ное уравнение первого порядка для определения ит1(д)
или, если ввести удобную для дальнейших вычислений переменную [а = cos 0
и обозначить ит1фаге cos ;i) через ), вид
Тем самым с точностью до численных множителей Ст определены все элементы
самого правого столбца матрицы Тд, т. е. Тт1 (<р1г 0, <р2). Оставив пока
численный множители неопределенными, найдем все остальные элементы 0,
ср2). Для этого применим к уже най-
денным функциям Тт1 оператор Н_ и воспользуемся тем, что Т1_Ттп = <хпТт,
л-i, где сста == (/ -1- /г)(/-л- -j- 1) (см. § 2, п" 3).
Подставляя в это уравнение оператор Н_ из (12) и функции
где
Ь - - - л | -f- ] лг -(- /г J),
с = \т - п | + 1.
(16)
Общее решение этого уравнения имеет вид
(17)
Pml^) = Cm{ 1 -р) 2 (1+р)
11-т%
1+ш
2
(18)
П. 4] § 7. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 93
6> Тг) из (15), мы получим соотношение для определения функций итп(6)
dumn т-л cos 0 __
sjn g Umn - l&ndm, n-l>
которое после введения переменной |j, = cos0, итпф)~Ртп(jj.) принимает
вид
(1 - ^ т~'Ц\Ртп (?) = i*nPm, "-1 (!*)• (19)
Положим
п-т п+т
РтпМ = ( 1 - ^""^"(1 + !*)'""""(l*). (20)
Подставляя это выражение для Ртп(\>-) в формулу (19), мы получим
простое соотношение для определения vmn{;х)
-^ = lanvm. "-!&). (21)
Записав найденные ранее функции Pmi(p-) (см. формулу (18)
в виде (20))
1-т 1+т
Pmi(l>-) = Cm( 1 -[у) 2 (1+[а) 2 vml(и),
мы видим, что
W = Ст( 1 - IР>1~т (1 + ?)1 + т-
Отсюда и из формулы (21) сразу получается, что
vmn Gx) = (-0г-п ая, (tm) К1 -!^)г-те(1
alal-1 • • • ап+1 "Iх
и, следовательно, функции Ртп{^)> которые мы будем обозначать также
РтоП(р.), имеют вид
п-т п+т
pL")=(-*)*-" а т--а-рГ 2 О+р)" 2 х
НЧ-\ • • • ап+1
Х^3[(! -^-"(1 +^+"*1-
Подставляя теперь в формулу (15) итп (6) = Plmn (cos 0), мы получим
функции Готп(сpt, 6, срг) для любых значений индексов т. к п.
Однако в полученных выражениях для Ттп(<?и 6, <р2) содержится 2/ -j- 1 не
определенных пока постоянных Ст. Мы найдем их из
94 ГЛ. 2. ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ [ч. I
условия, что вращению с нулевыми углами Эйлера go = g(0, 0, 0) отвечает
при представлении единичная матрица Е. Это значит, что Ттт(0, 0, 0) = 1,
т. е.
Plmmn) = (-iy-m Ят 2~т(- т)\ 2г+(tm)= 1.
"1*1-1 • • • ат+1
Отсюда, заменяя аг, aj_t, ..., am+1 их значениями, получаем:
(_1 Г т (i-mJ
я_ 21(1 -т)\ V (1 + т)\
и, подставляя Ст и аг, аг_х, ..., ага+1 в выражение для Ргт, "([*¦)*
имеем окончательную формулу
_ /-(/_ m)! (/ + /г)!
21(1 -m)l V (I -)- да)! (Z - п)!
п-т пл-т
dl-n
х(1 -Р) 2 (1+р0 2 ^^[(1-!ту-^(1+1т)г+т]. (22)
Итак, мы показали, что матрица, отвечающая при неприводимом представлении
веса I произвольному вращению g с углами Эйлера cpt, 0, ср2, имеет в
каноническом базисе вид
Тд = \ Т1тп(<?1, 0. ?2)|| (т> п = - 1, -1+1......0.
где
Т1тп('?и 0- <?г) = е~ШьРгтп(cosO)e-in?'
dl~
-П
Р1тп (р) = Д(1 -I*) 2 (1+р) 2
(23)
Постоянная Л при этом равна V^•
r 2'(Z - m)! V (l-\-m)\(l - n)<
Функции Tmn(cpx, 0, cp2) мы будем в дальнейшем называть для краткости
обобщенными сферическими функциями l-го порядка.
Приведем для примера обобщенные сферические функции порядков , 1 и
2. Так как зависимость этих функций от аргумен-
тов cpj и <р2 нам известна, то для сокращения записи мы выпишем
матрицы функций ^"(cosO), Рхтп(сos0) и P2mn(cos8). Они имеют
П. 4] § 7. МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ НЕПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
95
следующий вид:
1
У 2
t
(1 + cos 0)"
V2
- (1 - COS
-(1 - cos 0)2
V'2
(1 "j- COS
Y 2
COS-g- I sin-J
I sin -g- COS -g-
/= 1
~(1 + cos 0) 'l • о sin 0 Y 2 (cos 0 - 1)
--- sin 0 Y 2 cos 0 -4_sin 6 Y 2
~ (cos 0-1) -l-- sin 0 Y 2 -i- (1 + cos 0)
¦J (cos 0 + l)2
-g- sin 0 (cos 0 + 1)
-\Y 4
sin 0 (cos 0 - 1)
-j(COS 0 -l)2
¦ sin 0 (cos 0 +-1)
cos2 0)
-g- (2 cos2 0 + cos 0 - 1) ~ i sin 0 cos 0
-iVj
]/~ Ytsir
(1 - cos2 0)
(2 cos2 0 - cos 0 - 1) sin 0 (cos 0 - 1)
-g- sin 0 (cos 0 1)
Y (2 cos2 0 - cos 0 - 1)
Y 4
I sin 0 COS 0
-g- (2 cos2 0 + cos 0 - 1) -4- sin 0 (cos 0 + 1)
-g- (3 cos2 0 - 1) -
1 sin 0 cos 0
~iV T(1-cos26)
У (cos 0 - l)2 ~ sin 0 (cos 0 1)
4<i-",">
У sin 0 (cos 0+1)
4- (cos 0 + l)2
Во всех приведенных примерах строки нумеруются сверху вниз* а столбцы -
слева направо номерами -I, - Z-j-1 I. Чтобы
