Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
спинора.
Если рассматривать формулу (2) как формулу, дающую при фиксированной
системе координат переход от одного спинора с компонентами {а1, а2} к
другому с компонентами {а1', а2'}, то преобразования (2) образуют
двумерное представление группы вращений. Это представление мы назовем
спинорным представлением первого ранга. Из сказанного выше следует, что
оно является неприводимым
представлением веса у. Для дальнейшего удобнее будет обозначить
матрицу
I "Ml а11 а12
_ _ через
1 - Р "11
т. е. положить а = аи, р = ос12,
- (3 = а21, а = а22. Тогда формулы,-по которым преобразуются компоненты
спинора, примут вид
2
аУ - Det|aift[=l. (2')
к = 1
Пусть теперь в каждой ортогональной системе координат нам задана
определенная с точностью до знака совокупность 2Г комплексных чисел аХ2,
..., Хг=1, 2), которая при переходе от одной системы к другой с помощью
матрицы ||а<%|| преобразуется по формулам
= ... 2а , а , ... (3)
А1Л1 Т2
где аи = а22 = а, а12 = - а21 = [3. Такая система чисел называется
контравариантным спинором ранга г в трехмерном евклидовом пространстве.
Совокупность всех спиноров r-го ранга, заданных в некоторой системе
координат, образует 2г-мерное линейное пространство.
Формула (3) преобразования спиноров дает представление группы вращений
преобразованиями в этом пространстве. Оно называется спинорным
представлением ранга г. Так как из формулы (3) видно, что каждая
компонента спинора ранга г преобразуется как произведение компонент г
спиноров первого ранга, то это представление
есть произведение г неприводимых представлений веса аналогично
тому, как тензорное представление есть произведение неприводимых
представлений веса 1.
2. Симметрические спиноры. Существование неприводимых представлений
для любого (целого и полуцелого) веса I. В этом пункте мы докажем, что
для каждого целого и полуцелого I существуют ^подпространства спиноров,
преобразующихся при вращении
82
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
по неприводимому представлению веса /. Такими подпространствами являются
подпространства симметрических спиноров.
компоненты не меняются при любой перестановке индексов ip2 . . . ir. Так
как индексы могут принимать только значения 1 или 2, то ясно, что
перестановкой индексов можно любую компоненту симметрического спинора
свести к одной из следующих г -|- 1 компонент
Отсюда видно, что симметрические спиноры r-го ранга образуют г 1-мерное
подпространство в пространстве всех спиноров. Легко показать, что это
подпространство инвариантно относительно спинорного представления. В
самом деле, из формулы
по которой преобразуются спиноры ранга г, видно, что на все индексы
действует одна и та же матрица aik, так что в результате преобразования
симметрия спинора не нарушается.
Покажем, что представление в пространстве симметрических спиноров любого
ранга г неприводимо. Для дальнейшего удобнее будет обозначить г через 21,
где I-целое или полуцелое. Чтобы показать неприводимость представления в
пространстве симметрических спиноров ранга 21, достаточно показать, что
преобразование Я3 в этом пространстве имеет 2Z -|- 1 различных
собственных значений (столько, какова размерность пространства). Найдем
для этого вид преобразования Я3 в спинорном представлении. Спинорное
предста-
. 1
вление ранга 1 есть неприводимое представление веса и матрица
#3 = 1Аг для этого представления имеет вид (см. стр. 40)
1 2 0
0 1 2
Так как спинорное представление ранга г есть произведение г представлений
веса , то, чтобы найти для этого представления
Н3а,н"'гг, нужно подействовать матрицей поочередно на каждый из индексов
не меняя остальных, и сложить результаты
(см. п. 2 § 4). Мы получим:
Спинор аМ2"'г> ранга г называется симметрическим, если его
Г
к
г
. ., а11 ••• ь 22 2
., а22 2
,г, г" ... I
а 1 2 г
2 2 2
кл -VI -чл
я3
п. 3]
§ 6. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
83
где pt - число единиц среди индексов ?а, а р2--число двоек среди этих
индексов. Из этой формулы видно, что спинор ail{* у которого отличны от
нуля лишь компоненты с р° единицами и р° двойк ами, является собственным
вектором Нъ с собственным значением -j(P2 - Pi)-
Пусть fm-симметрический спинор ранга 21, у которого
1-т 1+т
ап ... 1,22 ... 2 __ а все компоненты, отличные от этой, равны нулю.
Тогда
Н
\fm - ? 2 ^ I 9 Ч- fm ^/m>
т. е. fm отвечает собственному значению т для преобразования Н3. Так как
т может принимать значения -/, -/ -)- 1, ..., I, то мы получаем в
пространстве симметрических спиноров 2/-)- 1 собственных векторов
преобразования Н3, отвечающих различным собственным значениям. Тем самым
доказано, что представление в этом пространстве неприводимо. Спиноры fm
только множителями отличаются от элементов канонического базиса для этого
представления.
Мы показали, таким образом, что в пространствах симметрических спиноров
можно реализовать любые неприводимые представления группы вращений. В
пространстве симметрических спиноров ранга 21 действует неприводимое
