Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
7.
Окончательно имеем следующий результат: 27-мерное пространство тензоров
третьего ранга разлагается на сумму следующих подпространств, в которых
действуют представления, кратные неприводимым', одномерного пространства
кососимметрических тензоров или псевдоскаляров, преобразующегося по
неприводимому представлению веса 0, девятимерного подпространства
тензоров
§ 5. ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
79
вида ат - \ jxk + hkyj ~h ^jkzi> в котором действует трижды повторенное
неприводимое представление веса 1, десятимерного подпространства
тензоров, удовлетворяющих уравнению aylk-f-+ aikj~\~akji - 0, в котором
действует дважды повторенное неприводимое представление веса 2, и,
наконец, семймерного подпространства симметрических тензоров, у которых
все следы равны нулю. В этом последнем подпространстве действует
неприводимое представление веса 3. Из общих результатов § 3 следует, что
приведенное разложение на представления, кратные неприводимым,
однозначно.
Чтобы разложить тензорное представление третьего ранга на неприводимые,
нужно разложить на неприводимые те из полученных представлений, которые
кратны неприводимым. Это можно сделать различными способами. Мы укажем
некоторые из них.
Девятимерное подпространство тензоров вида а^к = Ь^хк-)-bikyj -(--\-bjkZi
естественным образом расщепляется на три трехмерных подпространства а^ =
Ь{}хк, а^к = Ь1ку}, afjk = bjkzi, в каждом из которых действует
неприводимое представление. Это разложение, конечно, не единственно.
Всякие три линейно независимые комбинации векторов хк, yj и порождают
соответствующее расщепление.
Что касается неприводимого представления в пространстве тензоров,
удовлетворяющих уравнению (17): аук-\-aikj-\-аку = 0, то, как мы видели,
размерность пространства решений этого уравнения равна 10 и в нем
действует дважды повторенное неприводимое представление веса 2. Поэтому
всякое разложение этого представления не может быть ничем иным, кроме
разложения на неприводимые, и достаточно взять какое-нибудь расщепление
этого 10-мерного пространства на отличные от нуля инвариантные
подпространства.
Это можно сделать, применив способ разложения с помощью собственных
значений преобразования подстановки, указанный в п. 1. Так, например,
можно разложить пространство тензоров, удовлетворяющих уравнению (17), на
подпространства тензоров, симметрических и кососимметрических по какой-
либо паре индексов, потому что среди отличных от нуля решений уравнения
(17) имеются тензоры как одного, так и другого вида.
Можно также использовать для такого разложения, например, круговую
перестановку s всех трех индексов, переводящую ijk в jki. Очевидно, что
s3 - s0, и поэтому собственные значения соответствующего преобразования S
есть корни третьей степени из единицы:
1 е_1 _м VJ. г*-±-110*
а. е- 2 -М 2 ' е - 2 2 '
Уравнение Sa^ - йф совместно с уравнением (17) дает йф = 0, поэтому
остаются два уравнения:
, ^а ijf- - Up-1 = so ;-уд.
80
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
дающих разложение нашего представления на неприводимые. Подобным же
образом можно было бы поступить с любым другим преобразованием
подстановки.
Таким образом, мы видим, что разложение тензорного представления третьего
ранга на неприводимые неоднозначно. Всякое разложение представления
кратного неприводимым на неприводимые дает некоторое разложение для всего
тензорного представления в целом.
В предыдущем параграфе мы видели, что можно реализовать неприводимые
представления группы вращений с любым целым весом I с помощью
преобразований тензоров. В этом параграфе мы рассмотрим другую
конкретизацию представлений группы вращений, так называемые спинорные
представления, которые позволят нам реализовать все без исключения
неприводимые представления этой группы (в том числе и представления с
полуцелым весом, т. е. двузначные).
1. Определение спинора и спинорного представления. Начнем с
определения спинора и спинорного представления ранга 1. В § 2 мы в
качестве одного из примеров рассмотрели неприводимое представление с
весом / = -!-. При этом представлении вращению g
с углами Эйлера <pt, 0, ср2 ставилась в соответствие определенная с
точностью до знака комплексная унитарная матрица второго порядка
Произведению вращений соответствует при этом произведение комплексных
матриц вида (1).
Предположим теперь, что в каждой системе координат нам задана
определенная с точностью до знака пара комплексных чисел (а1, а2),
которая при переходе от одной системы к другой с помощью вращения
g=\\gik\\*) преобразуется матрицей (1) по формуле
§ 6. Спиноры и спинорные представления
(1)
где
6 *
а = cos -к е
<Pl + <Pa 2
2
а1' = a a1 -f- [За2, а2' = - [За1 -f- сна2.
(2)
*) То есть при преобразовании координат, задаваемом формулами
Xi - 2 ?ikxk-
§ 6. СПИНОРЫ И СПИНОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
81
Такая система чисел называется спинором первого ранга в трехмерном
евклидовом пространстве. Сами числа а1 и а2 называются компонентами
