Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 27

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 132 >> Следующая

переходе от одной системы к другой числа а23, а31, а12 в случае вращения
преобразуются точно так же, как компоненты вектора xv х2, х3, а в случае
вращения с отражением они, кроме того, меняют знак. Другими словами, это
значит, что кососимметрические тензоры, второго ранга ведут себя по
отношению к представлению, как псевдовекторы.
В качестве иллюстрации рассмотрим разложение тензорного представления для
тензоров второго ранга на неприводимые. Всякий тензор второго ранга можно
представить в виде суммы симметрического и кососимметрического тензора
йц = Ь :j -j- С -j.
Действительно, достаточно положить:
bij == ~2 (flij () >
cij == ~2 ~b
Мы разложили девятимерное пространство тензоров второго ранга на сумму
трехмерного пространства псевдовекторов (кососимметрических тензоров
второго ранга) и шестимерного пространства симметрических тензоров.
Представление в пространстве псевдовекторов неприводимо. Представление в
пространстве симметрических тензоров
72 ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ [Ч. Г
можно разложить дальше. Всякий симметрический тензор можно представить в
виде симметрического тензора со следом, равным нулю, и тензора, кратного
единичному. Действительно, c^- = X8y-f-
-\-dij, где Х = -^-Сц, а симметрический тензор дц - Сц- Х8ц имеет
след, равный нулю.
Таким образом, мы разложили девятимерное пространство тензоров второго
ранга в сумму инвариантных подпространств-, одномерного подпространства
тензоров вида Х8^, трехмерного подпространства кососимметрических
тензоров и пятимерного подпространства симметрических тензоров со следом,
равным нулю.
Неприводимость представлений в первых двух подпространствах очевидна.
Можно было бы без труда показать, что в последнем подпространстве также
реализуется неприводимое представление с 1 - 2. Это, впрочем, будет
следовать из дальнейшего*).
Разложение на неприводимые представления тензорного представления
третьего ранга более сложно. Мы получим его в п. 3 как
частный случай более общих рассмотрений.
2. Определение весов неприводимых представлений, на которые
разлагается тензорное представление. В этом пункте мы выясним, на какие
неприводимые представления можно разложить произвольное тензорное
представление. Ответ на этот вопрос вытекает из результатов предыдущего
параграфа о разложении на неприводимые произведения двух неприводимых
представлений.
Мы знаем, что тензорное представление ранга 1 само есть неприводимое
представление веса I = 1 (основное представление).
Рассмотрим тензорное представление ранга 2. Оно есть произведение двух
неприводимых представлений веса 1, и поэтому оно
разлагается на три неприводимых представления с весами 0, 1
и 2
соответственно.
Следующее тензорное представление ранга 3 представляет собой произведение
тензорного представления ранга 2 на трехмерное неприводимое
представление. Пространство R тензоров второго ранга разложимо, как
указано выше, в сумму трех инвариантных подпространств (обозначим их R0,
Rt и Rz), в которых действуют неприводимые представления весов 1 - 0, 1,
2 соответственно. Поэтому произведение этого пространства на трехмерное
пространство Rp RXRi можетбыть разложено на суммы инвариантных
подпространств /?0 X fin и R2XRi- Так как представление в каждом из
этих трех подпространств есть произведение двух неприводимых
*) Этот результат следует также из § 4. Действительно, тензорное
представление для г = 2 есть произведение двух неприводимых представлений
с г = 1 (основных представлений). Следовательно, оно разлагается на
неприводимые представления с весами 1 = 0, 1, 2.
П. 2] § 5. ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ 73
представлений, то к нему можно применить результаты § 4. Мы получаем:
R2 X Ri как произведение представлений весов 2 и 1 разлагается на три
представления весов 3, 2, 1.
X Ri (опять в силу результата § 4) разлагается на представления весов 2,
1,0.
R0 X есть неприводимое представление веса 1.
Объединяя эти результаты, мы видим, что тензорное представление ранга 3
разлагается на сумму одного неприводимого представления веса 0, трех
неприводимых представлений веса 1, двух неприводимых представлений веса 2
и одного неприводимого представления веса 3.
Так как тензорное представление ранга 4 есть произведение представления
ранга 3 и 1, то, пользуясь найденным разложением, мы можем найти, на
какие неприводимые представления разлагается тензорное представление. Для
этого представление ранга 3 надо разложить на неприводимые представления
и затем каждое слагаемое в этом разложении умножить на представление
ранга 1; полученные произведения нужно снова разложить на неприводимые и
результаты, сложить.
Вычисления удобно производить с помощью следующей таблицы:
Таблица I
Ранг тензора Вес представления
1=0 1=1 1=2 1=3 1=1 1=5
г = 0 1
г= 1 0 1
г - 2 1 1 1
г - 3 1 3 2 1
г = 4 3 6 6 3 1
г= 5 6 15 15 10 4 1
Каждая строка соответствует тензорному представлению определенного ранга.
Предыдущая << 1 .. 21 22 23 24 25 26 < 27 > 28 29 30 31 32 33 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed