Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
подстановки. Так как безразлично, сначала ли произвести подстановку
индексов и затем перейти к новым координатам или проделать эти операции в
обратном порядке, то отсюда следует, что преобразования перестановки
перестановочны с преобразованиями тензорного представления Тд.
Рассмотрим ряд преобразований подстановки St, S2, .... Sp и возьмем их
линейную комбинацию X1S1 X2S2 ^pSp. Тен-
зоры, удовлетворяющие уравнению
0-А + 4^2 -f- ... -f- ^pSp) a-ifa ... - 0, (5)
образуют в пространстве R линейное подпространство. Из того, что
преобразования подстановки перестановочны с преобразованиями
представления, следует, что это подпространство инвариантно относительно
тензорного представления *).
Укажем способ разложения тензорного представления с помощью собственных
значений преобразования подстановки**). Так как любая подстановка 5 в
некоторой степени равна единичной, то преобразование S в тензорном
пространстве, будучи повторено достаточное число раз, дает единичное
преобразование Е. Но это значит, что собственные значения преобразования
S
*) В самом деле, пусть а{^ { принадлежит подпространству, опре-
деленному уравнением (5), т. е. 2 ^jS}a( f t =0. Тогда
j i 2 г
2 ^jSjTgd^ ...ir~Tg (2 ... "r) = °>
т. e. Ti принадлежит тому же подпространству.
Зу) Конечно, это разложение, вообще говоря, не есть разложение на
неприводимые представления или на представления, кратные неприводимым.
70
ГЛ. 1. ГРУППА ВРАЩЕНИЙ И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
равны корням соответствующей степени из собственных значений Е, т. е. из
единицы.
Возьмем некоторую подстановку s, и пусть sn = s0, где So - тождественная
подстановка. Обозначим через е0 = 1> Ч> Е2 = Ei> ¦ • •> %-i корни п-й
степени из 1 и рассмотрим в тензорном пространстве подпространства
тензоров, удовлетворяющих уравнениям
Sai,U ... = *bai,i, • • • V
Из общей теории линейных преобразований известно, что эти подпространства
образуют полное разложение тензорного пространства. Согласно сказанному
выше все они инвариантны относительно тензорного представления, т. е. мы
получаем, таким образом, некоторое разложение тензорного представления.
Например, если Sj - перестановка первых двух индексов, переводящая ip.2
... 1гв 121± ... ir, то Sj = S0 и собственные значения соответствующего
преобразования 5 равны ±1.
Поэтому всякий тензор а{ ^ t можно представить как сумму двух
тензоров и с,:
... ir~ bi,i* ... ir СЬЧ ••• <г '
где biA ... V удовлетворяет уравнению buii ... = - biih ... у
а сг-А _ -
уравнению f =сг ,.а . Действительно, для этого достаточно по-
ложить:
- -L
2 (а*'А ... ir ~ ... ir)'
cii4 ... - ~2 {anh ¦¦¦ir ^ if)'
Заметим, что совокупность уравнений вида (5) также выделяет инвариантное
подпространство тензоров, удовлетворяющих всем этим уравнениям.
Тензоры, не меняющиеся ни при каких перестановках индексов 1х1г . .. ir,
называются симметрическими тензорами ранга г. Тензоры, не меняющиеся при
четных и меняющие знак при нечетных перестановках индексов, называются
кососимметрическими. Из сказанного ясно, что как симметрические, так и
кососимметрические тензоры образуют инвариантные подпространства в
пространстве R.
Рассмотрим подробнее кососимметрические тензоры в трехмерном
пространстве. При перестановке любых двух индексов кососимметрический
тензор должен менять знак. Отсюда видно, что если компонента
кососимметрического' тензора отлична от нуля, то все ее индексы должны
иметь различные значения. Так как индексы ij, i2, .. ., if могут
принимать только значения 1, 2 или 3, то отсюда следует, что
кососимметрические тензоры выше третьего ранга равны нулю.
Пусть ащ - кососимметрический тензор третьего ранга. У такого тензора
компонента а123 может быть произвольна, а остальные от-
п. 1]
§ 5. ТЕНЗОРЫ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
71
личные от нуля компоненты определяются по ней из условия
кососимметричности: ^231 =: ^312 == ^123 > ^213 == ^321 == ^132 ==
^123"
Обозначим тензор третьего ранга, у которого а123=1, через вцк. Остальные
кососимметрические тензоры третьего ранга совпадают с ес точностью до
скалярного множителя.
Из формул (1) видно, что при преобразований координат каждая компонента
тензора умножается на детерминант преобразования матрицы Hgi/cll- Поэтому
при вращении компоненты этого тензора не меняются, а при вращении с
отражением меняют знак. Таким образом, по отношению к представлению
кососимметрический тензор третьего ранга представляет собой псевдоскаляр.
Рассмотрим кососимметрический тензор второго ранга ац. Очевидно, что у
этого тензора три независимые компоненты а12, а23 и а13, т. е. такие
тензоры образуют трехмерное пространство. Умножим a{j на и затем
свернем по индексам и' и jj'. Мы
получим тензор первого ранга
т. е. вектор. Очевидно, что еуйДу = 2ау или ьцфц - - 2а,ц в зависимости
от выбора системы координат. Таким образом, компоненты
кососимметрического тензора совпадают с компонентами вектора хк с
точностью до множителя, знак которого зависит от системы координат. При
