Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
1 1 сой ч и проекцией спина - , и т. д.
II. УравнениеДаффина для скалярных частиц. Здесь существует лишь один
отличный от нуля ящик (см. § 9, (8")).
0 i
С 0 =: ~i 0
т. е. спин частицы принимает лишь значение 1-0. Масса принимает значения
pi = 4 и р2 = - ч. Существует, таким образом, только два независимых
состояния в системе покоя.
III. Уравнение Даффина для векторных частиц. В этом случае снова
существует один ящик (см. § 9, (10))
0 i 1
- i 0 0
- I 0 0
Следовательно, спин 1=1.
Ненулевые собственные значения этой матрицы ).1=У 2, Х2 = -]/2.
Масса покоя равна 2 = ~+~-j=- Всего существуют шесть линейно
V ^
независимых состояний в системе покоя
ф и ф х (т = - 1, 0, 1).
-~, 1, ш , 1, т
V 2 V 2
IV. Уравнение Паул и-Ф и р ц а. Здесь имеются два ящика:
0 0
0 0^-
0 1 1 о
Все собственные значения первого из них равны нулю, а собственные
значения второго равны -*-1.
Таким образом, спин для уравнения Паули-Фирца равен 1 = \,
а масса г = ч.
п. 7] § 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ МАССЫ ПОКОЯ И СПИНА ЧАСТИЦЫ 339 В
системе покоя восемь линейно независимых состояний:
ф з и ф з / m _ 3 1 1 3\
*. т, m -%>2'т \т - '2' 2 ' 2"' ~2)'
Итак, приведенные в § 9 уравнения с х Ф 0 - это уравнения
1 3
для частиц со спином 1 = -^, 0, 1, -j.
V. Двухкомпонентное нейтрино (см. § 9, п. 4). Уравнение для него имеет
вид
дф I дф I йф , дф л /1ПЧ
0lSi+°2^ + as^ + a°a^ -°' (19)
или
а1И^+а2'й+аз'й-ао^=0' (20>
В первом случае величина ф преобразуется по представлению "I")
(непунктирное спинорное представление ранга 1), а во втором случае- по
представлению т ^--g-> ¦§") (пУнктиРное спинорное представление ранга 1).
Масса двухкомпонентного нейтрино равна нулю. Определим поляризацию.
Рассмотрим сначала случай уравнения (19). Выберем, как и в общем случае,
систему координат так, чтобы р1 - р2 - 0, р3 > 0, p0 = z*zр3- Рассмотрим
сначала случай р0 = р3. Уравнение (18) для определения величины ф°(Дз,
р0) примет вид
Оз°з + Ро°о) Ф° (Ра> Ро) = 0-
Отсюда ф°(Р3" Ро) ~ a ( о ) ' т' е' нейтРин0 может находиться лишь
в одном состоянии с данным импульсом и энергией (пространство R0(p3, р0)
одномерно). Вектор ф (р3, р0), будучи в таком случае собственным вектором
оператора Н3, должен совпадать с каким-
нибудь из векторов канонического базиса представления Из результатов § 4,
п. 1 следует действительно, что вектор ф° = а(^ совпадает с вектором ?i
^с собственным значением m - -^j из канонического базиса представления %
.
Таким образом, в случае положительной энергии р0>0 значение поляризации
для нейтрино, подчиняющегося уравнению (19), равно у .
В случае р0 < 0 поляризация равна ^.
340
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Если же волновая функция нейтрино удовлетворяет уравнению (20), мы
получаем противоположные знаки поляризации: при р0 > 0
т = - а при /?0 < 0 /га = . Состояние нейтрино с /70 < 0 физики
называют антинейтрино (см. сноску на стр. 330). Составим табличку:
Частица Представление
/ 1 3 ч ЦТ'Т) уравнение (19) V 1 3 \ Ч 2 ' 2) уравнение (20)
Нейтрино Ро>0 1 /га- 2 1 /га = -т
Антинейтрино р0 <( 0 1 /га = -т 1 "= 2-
Вопрос о том, какой из двух вариантов нейтрино имеет место в
действительности (если оно, вообще, двухкомпонентно), решается
экспериментом.
VI. Поляризация фотонов. Рассмотрим плоские волны для уравнения
Максвелла, описывающего фотоны. Масса покоя фотонов равна нулю. Определим
поляризацию. Выберем ось х3 вдоль положительного направления импульса
фотона. В такой системе координат вектор энергии - импульса р имеет
координаты р(р0, 0, 0, р3), р3 > 0, а плоская волна записывается в виде
Fik (*) = Fik (р)
Величина Fik(p) удовлетворяет уравнению
(PsL з - PoL о) Fik {р) = 0,
т. е. принадлежит дефектному подпространству матрицы p3L3 - Ао^-о-Выпишем
эту матрицу (см. § 9, (19) и (19'))
Аз^-з -А сЧо -
!1, -1 So 51, -1 So Si
0 ~1Ръ 0 0 - 'Аз 0
Аз - Ро 0 0 Чз 09 I Чз О 0 0
0 - Ро 0 0 - Ро 0
0 0 Рз- Ро 0 0 - Аз - Ро
0 - 'Аз 0 0 1рг 0
Р 3 -Ро 0 0 -Рз + Ро 0 0
0 - Ро 0 0 Ро 0
0 0 Рз -Ро 0 0 Аз +Ао
Первая строка этой матрицы пропорциональна 3-й строке, а 5-я
пропорциональна 7-й. Если выкинуть две из них (например, 1-ю и 5-ю),
П. 8] § 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ МАССЫ ПОКОЯ И СПИНА ЧАСТИЦЫ 341
то мы получим квадратную матрицу шестого порядка
61,-1 с10 "и К -1 бГо 6п
- Ръ- Ро 0 0 Рз - Ро 0 . 0
0 - Ро 0 0 - Ро 0
0 0 Рз - Ро 0 0 - Рз - Ро
1 СО ft, I 0 0 - Рз + Ро 0 0
0 -Ро 0 0 Ро 0
0 0 Рз - Ро 0 0 Ръ + Ро
Эту матрицу перестановкой строк и столбцов можно привести к ящичному виду
Р м, -1 61, -X р МО 410 6п 6п
- Рз - Ро S5 1 "о О 0 0 0 0
- Рз-Ро - Рз + Ро 0 0 0 0
0 0 - Ро - Ро 0 0
0 0 - Ро Ро 0 0
0 0 0 0 Рз-Ро - Рз-Ро
0 0 0 0 2? 1 "о О Рз + Ро
(21)
После того как матрица приведена к такому виду, ясно, что при р0~ ръ ф 0
ее дефектное подпространство R(p3, р3) двумерно и содержит векторы ^ _j и
Йь В случае же р0 - -р3 Ф 0 дефектное подпространство R(p3, - р3) также
двумерно и содержит векторы Й, -1 и В обоих случаях дефектные
