Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
0 в виде плоской волны
ф(хс, xv х2, х3) = б (р(1, ри р2, Рз) ег (~Р^+Р'х1+гнъ+РА)' Величина ф(р)
определяется, как Есегда, из уравнения
ЗДФ0>) = °' (18)
336 ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
а вектор энергии - импульса р лежит на световом конусе
Решения уравнения (18) образуют подпространство R{p) в пространстве R
значений волновых функций. Точно так же как в п. 3, можно показать, что
подпространство R(p) инвариантно относительно тех и только тех операторов
Тд из представления группы Лоренца g-> Тд, которые отвечают
преобразованиям g, оставляющим вектор р на месте. Другими словами,
пространство Rip) инвариантно относительно представления стационарной
группы Gn(p) вектора р.
В п. 3 мы видели, что стационарная подгруппа любого время-подобного
вектора изоморфна группе вращений. Для вектора р, лежащего на световом
конусе, стационарная подгруппа G0(p) устроена совершенно иначе, чем
группа вращений.
Кратко опишем эту группу. Заметим, что стационарные группы двух любых
векторов, лежащих на световом конусе, изоморфны. В связи с этим мы
построим стационарную подгруппу вектора р с координатами (р3, 0, 0, рг),
Pq = р3. Всякой подгруппе собственной группы Лоренца отвечает некоторая
подгруппа в группе 9С комплексных матриц второго порядка а с
определителем, равным 1. Выпишем сейчас подгруппу группы 2[, отвечающую
стационарной подгруппе G0 (рв, 0, 0, р3). Обозначим ее ?|0 (р) (при этом
мы, разумеется, пользуемся тем соответствием ga^~а между собственными
преобразованиями Лоренца и комплексными матрицами второго порядка a (det
а = 1), которое мы установили в § 1).
Группа 810(д) состоит из трех однопараметрических подгрупп:
Заметим, что подгруппа at (у) соответствует вращениям вокруг оси х3. (Эти
вращения, как легко видеть, принадлежат стационарной подгруппе Go iPo, 0,
0, р3).)
Нетрудно видеть, что группа 2Со (р) изоморфна группе всех движении
плоскости (х, у).
Действительно, если подгруппе а^ (у) отнести вращения в плоскости (х, у)
вокруг начала координат на угол 9, подруппам й[(0 и a"(s) - сдвиги вдоль
осей х и у на расстояние t и s соответственно, то этим и будет установлен
изоморфизм между группой движений плоскости и группой ЭС0 (Р)•
Заметим, что стационарная группа G0(p) содержит вращение вокруг
направления импульса (pv р2, р3). Выберем теперь ради удобства систему
координат в четырехмерном пространстве так, чтобы положительное
направление оси х3 совпадало с вектором (ри р2, р3). В этой системе
вектор энергии - импульса имеет координаты (р0, 0, 0, р3). При таком
выборе оси х3 вращение вокруг направления импульса совпадает с вращением
вокруг оси лг3 и, следовательно, пространство R(p) инвариантно
относительно операторов Т0а, соответствующих этим вращениям. Тем самым
пространство R{p) инва-
п. 7] § 10. определение значения массы покоя и спина частицы 337
риантно также относительно инфинитезимального оператора Н3; и в
пространстве R (р) можно выбрать базис из собственных векторов этого
оператора. Обозначим эти векторы через фот(р), где т - собственные
значения оператора Н3. Как мы знаем, числа т могут принимать все
одновременно целые или полуцелые значения. Значения чисел m=mv т2, . . .,
тк называются значениями поляризации частицы с * = 0. Собственным
векторам фот(р) отвечают плоские волны с определенным значением
поляризации т. При этом говорят, что плоские волны <]>т (р) поляризованы
по движению *).
Заметим, что в случае, когда направление оси х3 не совпадает с
направлением импульса (pv рг, р3), как мы только что предполагали, вместо
оператора Нъ надо выбрать инфинитезимальный оператор Нр, отвечающий
однопараметрической группе вращений вокруг направления импульса (ри р2,
р3). При этом в качестве векторов (р) надо взять собственные векторы
этого оператора.
Итак, каждая плоская волна для частицы с х = 0 задается выбором вектора
энергии-импульса, лежащего на световом конусе
р1-р1-р1-р1 = 0'
и некоторым вектором фта(р) из дефектного подпространства матрицы L (р):
Р (Р) К (Р) = 0
с определенным значением поляризации т.
7. Масса покоя и спин частиц, описываемых уравнениями из предыдущего
параграфа. I. Уравнение Дирака. Матрица
I 0 Е
1 Е 0
состоит из одного ящика
I с"1 = 1 0 1 I
I Т II II 1 0 I'
где Таким образом, уравнение Дирака описывает частицы
со спином 1=~, Масса принимает два значения р. = -(-ч и = - х. Так как
при I = у проекция спина т принимает два значения и -~, то существуют
четыре линейно независимых вектора
*) Мы не рассматриваем здесь случая поляризации плоских волн с % = 0
вдоль направления, не совпадающего с направлением импульса. Заметим
только, что в отличие от случая х ф 0 плоские волны с % = 0,
поляризованные не вдоль движения, не всегда существуют. Мы убедимся в
этом ниже на примере двухкомпонентного нейтрино.
338
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
матрицы L0, а именно:
Ч* 11, f 1 п I 1' _1 _!•
*' 2 ' 2 *' 2' 2 *' 2' 2 2' 2
т. е. состояние с массой ч и проекцией спина состояние с мас-
