Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворял соотношению
Р\ - Р\ - Р\ - Рз = t*2> (12)
где р. = j- а К - какое-нибудь отличное от нуля действительное
собственное значение матрицы L0. При этом для уравнения с х Ф 0 вектор
энергии - импульса времяподобен, а при х = 0 этот вектор лежит на
световом конусе. Величина ^(р) (амплитуда плоской волны) получается из
уравнения
L(P)ty\P) = -*ty(p),
т. е. является собственным вектором матрицы L(p) с собственным значением
- х.
2. Система покоя. Масса покоя. В этом и в следующих двух пунктах мы
рассмотрим случай уравнения с х Ф 0. В этом случае вектор энергии -
импульса, задающий плоскую волну (2), как мы видели в предыдущем пункте,
времяподобен
р1-р\-р\-р1>ъ.
Выберем теперь такое преобразование Лоренца g0, которое переводило бы
этот'вектор в направление временной оси р0 в импульсном пространстве
goр = р' и = р'=/?'= 0.
При этом уравнение
Lm(p)+^ip)=o.
из которого определяется величина 'Ь(р), задающая плоскую волну (2),
перейдет в уравнение
-А^о'МЯ)) + ЦКА)) == °. (13)
где величина 4 (р0) связана с ф (р) соотношением
Ь (Ро) = Тд$ (Р)-
330
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. И
Как видно из уравнения (13), величина 6 (р0) является собственным
вектором матрицы L0 с собственным значением к - -^.Очевидно,
Обратно, сама величина ф (р), задающая плоскую волну, выражается через
б(/70) по формуле
Ф (Р) = Ф (#>)•
Таким образом, каждое решение (2) в виде плоской волны определяется
некоторым собственным вектором матрицы L0 с ненулевым собственным
значением.
Как мы отмечали выше, всякое преобразование Лоренца g над векторами р из
импульсного пространства R<-4> можно рассматривать как переход с помощью
матрицы g'=liS'i&ll от системы координат в координатном пространстве
в которой плоская волна за-
дается вектором р и величиной ф(р), к системе координат в R^\ в которой
эта плоская волна определяется вектором р' и величиной ^(р') - Тд^(р). В
частности, если в некоторой системе координат плоская волна
б(х0, xlt х2, х3) = ф (р) ?* (-Р^ + р^.+р^+рх,) (14)
задавалась вектором р, то преобразование Лоренца g0, переводящее вектор р
в направление временной оси в R^ : gp = р' (р'х - р'2 = =р' - 0), можно
рассматривать как переход к системе координат (х'0, х[, х'2, х'3), в
которой плоская волна (14) запишется в виде
']>(x'0) = 0(p'o)e~ip°Xo. (15)
Система координат (х', х', х', х'3), в которой плоская волна (14)
принимает вид (15), называется системой покоя для плоской волны (14).
Плоскую волну (15) в системе покоя называют иногда плоской волной покоя.
Величина 6 (/?'), задающая плоскую волну покоя, как мы видели, является
собственным вектором матрицы L0 с вещественным ненулевым собственным
значением ).
Lо'Нр'о) = }^(р'0)• ПРИ этом P'o~~Y~ I4- (16)
Числа р. называют значениями массы покоя частицы*). Мы видим,
*) Как мы видели в предыдущем пункте, с каждым собственным значением к у
матрицы Z.Q встречается собственное значение - /.. Это означает, другими
словами, что вместе с каждым значением массы покоя р. у частицы
существует значение массы покоя - р. При этом состояние с р)>0 называют
состоянием частицы с массой р, а состояние с р <С 0 - состоянием
античастицы с массой | р |. Таким образом, в случае конечномерных
уравнений каждому состоянию частицы соответствует состояние античастицы с
той же массой, или, как говорят короче, у каждой частицы есть
античастица.
л. 3] § 10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЯ МАССЫ ПОКОЯ И С ШНА ЧАСТИЦЫ 331
что энергия частицы /?' в системе покоя совпадает с каким-нибудь
значением массы покоя. Соотношение (12) превращается при этом в хорошо
известное из релятивистской механики соотношение между энергией,
импульсом и массой покоя частицы:
О О О 9 о
Ро - Pi Po - Pt = \x ¦
3. Спин покоящейся частицы. Состояние частицы в системе покоя
определяется, как было только что показано, собственным вектором б"
матрицы L0 с некоторым вещественным собственным значением X.
Как правило, собственные значения X матрицы L0 являются кратными.
Действительно, из общего условия, которому удовлетворяют матрицы Lk
релятивистски-инвариантного уравнения (см. § 7, (3)). следует, что
матрица L0 перестановочна с операторами Тд, соответствующими вращениям g.
Но тогда каждое собственное подпространство матрицы L0 (т. е.
максимальное подпространство, состоящее из ее собственных векторов с
одним и тем же собственным значением) инвариантно относительно операторов
Т~. Действительно, пусть 10б = Хф. Тогда ЦТц§- Т L0ty - XT' ф, т. е. Lfl6
так же является собственным вектором с собственным значением X, т. е.
принадлежит тому же собственному подпространству, что и <Ь.
Собственное подпространство, отвечающее собственному значению X,
обозначим через Rk.
Пространство Rk распадается на несколько инвариантных подпространств RlK,
в каждом из которых представление группы вращений неприводимо и имеет вес
I. Числа I называют значениями спина частицы. Очевидно, что в каждом
инвариантном подпространстве Rk существует 2/Д-1 независимых векторов
