Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 116

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 132 >> Следующая

с(tm) 0 0 С(tm)
С(tm) 0 0 с(tm)
0 -с(tm) 0
/=1/2
| 0 2с(tm)
| 2с(tm) 0
/=1/2
0 2 с(tm) I! 2с(tm) О
П. 6] § 9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 321
где с'л, ctaXl - произвольные вещественные числа, а схл - комплексное
число. Мы можем, далее, еще упростить это выражение, перейдя к новой
системе координат. Допустимое преобразование координат (т. е. сохраняющее
вид всех инфинитезимальных операторов Н+, Н_, Н3, F+, F_, F3, вид
преобразования S, отвечающего отражению, и вид инвариантной билинейной
формы) в нашем случае задается формулами
Vm Vm'
с* =
чт
Чт9
Чт9
Пт р Пт'
(24)
При таком преобразовании элементы сх>х> и с~л матрицы L0, очевидно, не
изменятся, а cz'z* перейдет в
(25)
Таким образом, существенными параметрами исследуемого уравнения (матрицы
L0) в этом случае будут три вещественных числа: с-*-" съч и J сх'Тз ].
Выбрав соответствующим образом Ь1 и 02 в равенствах (24), (25) и разделив
все уравнение на 2схл (что сводится к изменению константы у.), мы можем
привести нашу матрицу L0 к одному из следующих видов:
а)
'=4
б)
О а р
а О О
р О о
о р
1
0 1
1 о
'=4
(26)
0 а р 0
а 0 0 Р
- ? 0 0 1 2
0 -р 1 2 0
0 1
1 О
(27)
где а-вещественное число, 3 - бещественное положительное число.
322
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ч.. II
Таким образом, мы получили общий вид матрицы 10 для релятивистски-
инвариантных уравнений со схемой зацепления (21), получаемых из
инвариантной функции Лагранжа.
В дальнейшем, в § .11, мы покажем, что одно из этих уравнений
(получающееся из случая б) определенным выбором параметров а и 3) имеет
особые преимущества перед остальными. Матрица L0 для этого уравнения
выглядит так:
'=4 ' 2

1 2 1 2 0
0 0 1 2 ' 0 1:|
0 0 1 2 5 1 of-
1 2 1 2 0
Релятивистски-инвариантное уравнение с такой матрицей 10 называется
уравнением Паули - Фирца.
7. Примеры бесконечномерных инвариантных уравнений. I. Простейшим
бесконечномерным уравнением (с х ф 0)> удовлетворяющим всем условиям §§7
и 8, будет уравнение относительно волновой функции, преобразующейся по
неприводимому представлению собственной (и
полной) группы Лоренца, определяемому парой чисел ^0, или , 0^
'согласно результатам § 7 это - единственные случаи уравнений с % Ф 0,
когда представление собственной группы, по которому преобразуются
компоненты волновой функции, может быть неприводимым.) Веса, участвующие
в первом представлении ^0, j , принимают значения 1 = 0, 1,2, ...;
для представления
(I 0\ *_I i 1 \ 2 ' ) 2 ' 2 ' 2 '
Матрица же Lq в обоих случаях будет диагональна, причем элементы ее имеют
вид
clmVm
- =(* + y)vw~ (29)
В связи с особой простотой выпишем здесь полностью соответствующее
уравнение; в этом случае If есть вектор с компонентами (т = - I, -
.....I - 1,/), гДе 1 = 0, 1,2, ... для первого или соответственно
п. 7] § 9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКП-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 323
,1_ 3 5
2 ' 2 ' 2 '
для второго случая, и уравнение имеет вид (l + ту ] Фгш + ту ^ W{I + т +
1) (I - т тд !) 'гг+i, т +
+ /(ТГ^ЙТ^) фг_ь ",} + j +1 х X ! YU^j-fn-j-l) (1-т-\-2) фг+i, т+1-У -т-
1) {I-т)'11 /-г, ш+г)-
" 7 (б7г " 1 ш) ^(/ " т + 1} (/ " т + 2) ^г+1' ш~х ~~
- >л(/ + т - 1) (I + от) 6г_!, m_t} -f г/.фг,н = 0. (30)
II. В качестве следующего примера рассмотрим еще уравнения с х = 0,
для которых представление Тд, по которому преобразуются компоненты
функции ф, распадается на два неприводимых представления тих собственной
группы Лоренца. Ясно, что такие уравнения, удовлетворяющие всем условиям
§§ 7 и 8, могут существовать только в том случае, если эти неприводимые
представления х и х определяются парами х''"'(^> ^
и,х~| у , 7|^ , где 1]_ - или чисто мнимое или вещественное ^в последнем
случае при целом или полуцелом возможны, конечно, также и пары
представлений ^7[, и [l^, ?))' Действительн0> только в этом
случае ком-
поненты х и х зацепляются и представление, состоящее из этих компонент,
допускает инвариантную форму:
(при l-i вещественном) или
х = х* и х = х:,:
(при lt чисто мнимом).
В случае 1г чисто мнимого мы можем здесь еще двумя способами определить
инвариантную билинейную форму (ф^, ф2); условимся выбирать ее так, чтобы
она была положительно определенной. В таком случае элементы матрицы для
всех наших уравнений можно привести к виду
chnV т' = cl'm'lm {l X °Ц, ()тт'• (31)
Заметим еще, что в случае целого или полуцелого 1г матрица L0 в
бесконечномерном уравнении с зацепляющимися компонентами т •<-> х, х ~
и х - ~ j имеет тот же вид (31).
Заметим также, что бесконечномерное уравнение с зацеплением
, I ^и матрицей (31) в случае полуцелого 1Х распадается
на два уравнения: конечномерное с волновой функцией,
преобразующейся
по представлению с компонентами + - ту, h j . и бесконечно-
324
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
мерный "хвост"-уравнение со схемой зацепления ^ <-> ^i>
^напомним, что представления с парами -4j и -ту] называются
"хвостами" конечномерных представлений l±j и ^ j, /j] (см. § 2)].
Предыдущая << 1 .. 110 111 112 113 114 115 < 116 > 117 118 119 120 121 122 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed