Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Гельфанд И.М. -> "Представления группы вращений и группы лоренца, их применения" -> 115

Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.

Гельфанд И.М., Минлос Р.А., Шапиро З.Я. Представления группы вращений и группы лоренца, их применения — М.: Наука, 1958. — 367 c.
Скачать (прямая ссылка): predstavleniyagruppivrasheniyigruppilorenca1958.djvu
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 132 >> Следующая

возможны лишь релятивистски-инвариантные уравнения с прямоугольными
(неквадратными) матрицами Lq, Llt L2, L3 (см. § 7).
316 ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ [Ч. II
б. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля в пустоте.
Так называют две системы уравнений с * = 0 относительно анти-
симметрического тензора Fik:
I dFjfc ¦ dFki . dFu __ Q
dxj ' dxi ' dxk '
индексы i, .k, l различны; всего получаем четыре уравнения.
"• 1^=°-
/с = 0
Эта система также содержит четыре уравнения. Обе системы при
преобразованиях Лоренца преобразуются независимо.
Антисимметрический тензор Fik преобразуется по представлению g -у Тд,
состоящему из двух компонент т~(1, 2) ит-(-1> 2). Представления g -" и g
-" Vg\ по которым преобразуются обе системы, являются векторными
представлениями т0-(0, 2). Схема зацепления для обеих систем одна и та же
X ч-> т0 +-> т. (17)
Пусть { lim} - канонический базис представления g -" Тд, а {}-
канонический базис представления g-+Vg- Выпишем матрицу L0 в базисах j j
и | %zm, j для уравнения со схемой зацепления (17).
sl, -1 S10 & 5i, -1 S10 "и
°(Ю 0 0 0 0 0 0
ст'х 0 0 0 0
0 0 0 czoi 0
0 0 0 0 ст"т
Потребуем теперь, чтобы уравнение с такой матрицей было инвариантно
относительно представления полной группы. Здесь могут представиться две
возможности:
1. Представление g->-Vg является псевдовекторным представлением; в таком
случае
cz= сг°г = с.
2. Представление g-+Vg•-векторное; при этом
cz"z = - ст"т - с.
п. 5] § 9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 317
Если потребовать, чтобы наше уравнение получалось из инвариантной функции
Лагранжа, то мы получим, что с действительно; всегда можно положить с=1.
Таким образом, случаи 1 и 2 приводят к двум возможным матрицам L0 со
схемой зацепления (17):
1.
2.
?" =
0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 0
1 0 0 -1 0 0
0 1 0 0 -1 0
0 0 1 0 0 -1
(18)
(180
Нетрудно проверить, что первый случай приводит к системе, равносильной
системе I, а второй случай - к системе, равносильной II. Если
рассматривать обе системы вместе, то матрица L0 имеет вид
?" =
0 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
0 0 0 0 0 0
1 0 0 -1 0 0
0 1 0 0 -1 0
0 0 1 0 0 -1
(19)
Матрица L3 (она понадобится нам в дальнейшем) при этом выглядит так (см.
§ 7, (18) и (19)):
(190
0 - 1 0 0 - / 0
-1 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 -1
0 - 1 0 0 1 0
-1 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 1
Приведенными примерами, по-видимому, исчерпываются все практически
применяемые в настоящее время релятивистски-инвариантные уравнения. Ниже,
в § 11, будут показаны некоторые
318
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. IF
исключительные свойства этих уравнений. Заметим здесь только,-и это будет
важно для дальнейшего,- что во всех рассмотренных примерах матрица L0
была приводима к диагональному виду.
Сейчас мы приведем еще один пример инвариантного уравнения, у которого
матрица L0 уже неприводима к диагональному виду. Это уравнение
представляет некоторый теоретический интерес, ясный из дальнейшего (см. §
11).
6. Уравнение Паули - Фирца. Пусть величина ф преобразуется по
представлению с компонентами тх, т1, т2, т2, определяемыми парами:
II 1)
\ 2 ' 2 / '
VI 1) ^2 ' 2/'
¦И-4). ¦(-4-4)-
(20)
Эти компоненты зацепляются, очевидно, по следующей схеме:
(21>
¦Ч
(Для уравнения с таким зацеплением матрица L0 изображена на стр. 319).
Заметим, что элементы матрицы L0* с одинаковыми индексами I и
соответствующими одной и той же паре компонент -сит' одинаковы. Поэтому
ради простоты матрицу L0 можно переписать в*, виде двух ящиков,
соответствующих двум значениям*/: ""
/ = 1 2 1 = 3 2
Х1 ч х2 Ч
0 стл 0 ч ч
0 0 С(tm) 0 2с^
^aTi 0 0 cv, 2 с*л 0
0 0
(22)
Из требования инвариантности относительно отражения получаем:
• • • •' •• ••
с?т2тз ~- СТаТ* -
Билинейную эрмитову форму, инвариантную относительно нашего представления
(20), можно задать двумя существенно различными
п. б] § 9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 319
2 cv>
320
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
способами:
а) (Фи ф2) = У ~у\ +4 ?( ) +
т ¦" \ 2т 2т 2 ~гт'
т=2'~~2
-f- У, (уЧ + У%I ) -
^ \ т" 2ОТ У"* У(tm)'

- У - И й +4 зя ),
^ \ -7Гт Тт S-m Vя"/
'2 ' 2
#xiTi = #,аХа = 1
(23)
б) (фх. ф2)= У М1 /i + х\ yi )-
^ \ _т _т т~Т'~Т
- 2 (- i)m (xRnyim + 4"34),
г=±-, ^
2 2
=-----#^3 1,
Этим двум способам соответствуют следующие условия, необхо-
димые для того, чтобы уравнение с матрицей L0 можно было получить из
инвариантной функции Лагранжа:
2) CT,Tl -- CXl%l\ Ст*тя 1- CTaxi* ?ziti ?TaTi*
И
6) CX%1 - C%& t CTiT2 ~-- - 1 C'XjTa •- -- c'li%1 J сУ&з - сT2X9#
Итак, в случае инвариантного уравнения со схемой зацепления (21) и
получающегося из инвариантной функции Лагранжа матрица L0 должна иметь
одну из следующих форм:
а)
/ = 3/2
б)
0 с(tm), с 0
с(tm) 0 0
С(tm) 0 0
0 С(tm) L •tj-c, 0
1 = 3/2
0 С(tm) с'-'* 0
Предыдущая << 1 .. 109 110 111 112 113 114 < 115 > 116 117 118 119 120 121 .. 132 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed