Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
знаем из предыдущего параграфа, если выполнена это условие, то уравнение
(12) с матрицами Lk может быть получено из инвариантной функции Лагранжа,
построенной с помощью формы (фл ф2) и матриц Lk. При этом необходимо
только, чтобы
(М*. ф) = (ф, МО.
или
с= с,
т. е. с - действительное число.
Таким образом, уравнение с матрицами Lk вида (12) при вещественном с
может быть получено из инвариантной функции Лагранжа. Последняя имеет вид
&№(х)]=с!т\^ ф) ]> с вещественно. (14)
314 ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
Если положить с=1, то получим Lk = ak (k = 0, 1, 2, 3). Уравнение с
матрицами <зк называется уравнением "двухкомпонентного нейтрино" *). Оно
имеет вид
д'-> i дф , дф , дф п .
--L°2 + +^о^=0. . (15)
как
2 s дхг ^
Представление собственной группы ^ ~ (у > "§") (равно *г ~ ^-j j нельзя
дополнить до представления полной группы
Лоренца. Поэтому не имеет смысла говорить об инвариантности уравнения
(15) с матрицами (12) относительно полной группы Лоренца **).
Выясним теперь, какие величины могут быть квадратично составлены из
волновой функции двухкомпонентного нейтрино, пре-
(1 3 \
ту, y)> т- е- по непунктирному спинорному представлению ранга 1.
Напомним с этой целью, что если сама волновая функция преобразуется по
представлению g ->• Тд, то, как мы видели в § 8, величины, квадратично
зависящие от ф, преобразуются по представлению, входящему в произведение
представления g -у Тд и •комплексно-сопряженного представления g -"¦ Т\ В
нашем случае g-^-T есть непунктирпое спинорное представление ранга 1, оно
*) Кроме этого, рассматривают также уравнение для "четырехкомпонентного
нейтрино": это - обычное уравнение Дирака с х = 0.
**) В этом заключалась причина, по которой до недавнего времени
отвергалась возможность описания нейтрино двухкомпонентной функцией,
подчиняющейся уравнению (15). Считалось, что все процессы, происходящие с
элементарными частицами, должны одинаково описываться как в левой, так и
в правой системе координат (физики называют этот принцип законом
¦сохранения четности); последнее означает, в частности, что у всех
элементарных частиц компоненты волновой функции ф при пространственном
отражении (т. е. при переходе от правой системы координат к левой) должны
подвергаться также некоторому линейному преобразованию S (другими
словами, волновая функция ф должна преобразовываться по представлению
полной группы Лоренца), а описывающее эту частицу уравнение должно быть
инвариантным относительно отражения (или, что то же самое, относительно
полной группы Лоренца). Однако ряд экспериментов последнего времени
привел Л. Д. Ландау (СССР) и Ли и Янга (США) к гипотезе о том, что в
некоторых случаях инвариантность процессов относительно отражений может
не иметь места (четность не сохраняется). В частности, •было допущено,
что такая инвариантность нарушается в тех процессах, где участвует
нейтрино. Поскольку, таким образом, от самого нейтрино {точнее, от его
волновой функции) уже не требовалось никакой инвариантности по отношению
к пространственному отражению, появилась возможность описывать его
двухкомпонентной функцией ф, удовлетворяющей уравнению (15).
П- 4 ] § Э. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ
315
определяется числами (у. у)- Представление g ->• Т*д задается, таким
(1 3 \
- 1' т) ^см' § п' (r)н0 является пУнктир-
, таким
ным спинорным представлением ранга 1. Напомним, что произведение
пунктирного и непунктирного спинорных представлений ранга 1 неприводимо и
задается парой (0, 2). Величина, преобразующаяся по такому представлению,
называется вектором.
Итак, единственной величиной, которая может быть составлена из
квадратичных комбинаций волновой функции двухкомпонентного нейтрино,
является вектор.
Заметим, что компоненты этого вектора могут быть записаны в следующей
изящной форме:
где зк - при k > О- матрицы Паули, а0 - Е и (ф^ ф2)-введенная выше
эрмитова форма (13).
Тот факт, что tk при преобразованиях Лоренца преобразуется как вектор,
проверяется в точности так же, как мы это делали в общем виде в п. 7 § 8
для уравнений с х^=0.
Заметим, наконец, что релятивистски-инвариантного уравнения с х=?0
относительно двухкомпонентной функции ф построить нельзя, поскольку в
двумерном пространстве нельзя задать представления собственной группы с
зацепляющимися компонентами. В случае же у. = 0, кроме уже написанного,
существует еще одно уравнение относительно цвухкомпонентной функции:
функция ф(я) преобразуется
/1 3 \
по представлению х-I----------------yl> а уравнение - по предста-
т. е. матрицы Lu L2, L3 этого уравнения совпадают с соответствующими
матрицами уравнения (15), а матрицы L0 в уравнениях (15) и (16)
отличаются знаком*). Инвариантная форма (<l>lf ф2) Ддя
= ((r)*Ф. Ф).
влению
Это уравнение имеет вид
(16)
уравнения (16) в базисе It]i , т] i | (для представления -и) и
Йь , 5 if (для представления т) имеет прежний вид (13). Т ~Т
*) Кроме уравнений (15) и (16) для двухкомпонентной волновой функции
