Представления группы вращений и группы лоренца, их применения - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
частицы, другой способ ведет к изменению у ф знака при отражении; это -
так называемый случай псевдоскалярных частиц. При этом величина (ф0, фх,
<у2, Фз) является соответственно вектором (первый случай) или
псевдовектором (второй случай).
Оператор 5 в базисе {^,п} имеет вид
о,oo ~00" GO' ^-Лт '- 'tlШ
(для скалярных частиц) или
5^оо= - ?оо> ¦S'Soo = - loo, - ?im
(для псевдоскалярных частиц).
При всяком другом способе введения оператора 5 в представление с
компонентами т0 и тх (например, если положить ^ скаляром, а (ф0, фх, ф2,
Фз) - псевдовектором) уравнение (8) не останется инвариантным.
3. Уравнение Даффина для векторных частиц/ Так называется следующая
система уравнений:
д?ь _ _ ,
дхк дхч ~
(9)
Здесь видно, что величина состоит из вектора (о0, срх, ср2, ср3) и
антисимметрического тензора т. е. преобразуется по пред-
ставлению -с, состоящему из трех компонент тх, т2, т2, определяемых
соответственно парами: (0, 2), (1, 2), (-1, 2). Эти компоненты
зацепляются, и схема зацепления между ними .следующая:
^2- (9')
Наиболее общий вид матрицы La в уравнении со схемой зацепления (9') в
базисе
{ей, ей, е? -ь es&. ей. ей, ей -ъ ей, ей, e?t _i}
п. 3] § 9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 311
следующий:
0 0 0 0 с" 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 сх>х' 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 , 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 cv. 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 с^'* 0 0 0 0 0 0 С-.Л
0 0 0 0 С'Л 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 CTa't 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 стл 0 0 0
Представление g-+Tg с компонентами х2, х2 можно дополнить до
представления полной группы Лоренца.
Требование инвариантности относительной, этой группы приводит к равенству
С'Г-г = = С1 И CVl - CVl = сг
(см. § 7, (30) И (31)).
Если теперь в качестве инвариантной билинейной формы выбрать форму
оь- Фа)=s х\*шУЪп + -Х'&У"> *)- (10
то для того, чтобы существовала функция Лагранжа, приводящая к уравнению
с матрицей вида (10), нужно положить:
С xa'i = схл,
или
П -
при сх = г мы приходим к системе, равносильной системе (9).
Снова заметим, что представление с компонентами хц х2, х можно двумя
неэквивалентными способами дополнить до представления полной группы
Лоренца:
*) Инвариантная форма, как и в предыдущем примере, может быть выбрана
двумя способами, отличающимися знаком у ахл. Однако второй способ не
приводит ни к положительно определенной энергии, ни к положительно
определенному заряду (см. § 11).
312
ГЛ. 2. РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[Ч. II
1. У вектора (<р0, ср^ <р2, ср3) при отражении составляющие
?2> ?з меняют знак, а знак <р0 сохраняется (собственно вектор).
2. Отражение не изменяет составляющих ср^ ср2, <р3 и меняет знак у ср0
(псевдовектор).
4. Уравнение для двухкомпонентного нейтрино. Здесь мы рассмотрим
пример релятивистски-инвариантного уравнения с к-0. Напомним, что такое
уравнение может существовать, если наряду с представлением g-+Tg, по
которому преобразуется волновая функция ф, в том же пространстве
действует представление g -" Vд, с помощью которого преобразуются сами
уравнения. При этом элементы матриц L0, Lu L2, La, записанных в
канонических базисах
представлений g-+Vg {cjm} и g-+Tg Щ*) -числа с?т1,т,
имеют тот же вид, что и для уравнений с v. Ф 0, т. е. задаются формулами
(13)-(19) § 7. Числа спо-прежнему отличны от нуля лишь для зацепляющихся
компонент х и х' представлений g -+Vg и g ->¦ Тд соответственно.
Рассмотрим двухкомпонентную функцию преобразующуюся по
пунктирное спинорное представление ранга 1). В этом же двумерном
пространстве можно определить также и другое неприводимое
уравнение с ч=0 относительно величины ф, преобразующейся по
*) Напомним, что элементы матриц L& определялись следующим образом.
где ф -вектор из пространства R, а 5 - его образ при действии опера тором
/./?. Это равенство можно переписать так:
где х\т - координата вектора 5 в каноническом базисе представления а
у\,т< -координата ф в каноническом базисе представления g->Tgt Числа
и служат элементами матриц L
двумерному представлению т, определяемому парой
представление т, определяемое
(это - пунктирное
спинорное представление ранга 1). Представления х и т зацепляются. Таким
образом, мы можем построить релятивистски-инвариантное
представлению
этом само уравнение должно из-
меняться по представлению т
Пусть
е = ?*ф.
п. 4] § 9. ПРИМЕРЫ РЕЛЯТИВИСТСКИ-ИНВАРИАНТНЫХ УРАВНЕНИЙ 313
В канонических базисах представлений х и х < ? i , S в
' о о '
| т) 1 . V 1 } числа Стт^ образуют матрицы
* ~~о" о* *
: са0 = сЕ,
Ll - c L2 -с U = с I
с О О с
0 1
1 О
0 -I
1 О
I1 О II о - 1 Г
- са1(
(12)
: са2,
са,
Матрицы аи а2, а3 называются матрицами Паули.
Заметим, что если выбрать в двумерном пространстве эрмитову форму
0Ь> 1Ы = *С1 /1 +*z i / i .
2 2
(13>
где х\ , х% 1 -координаты фх в базисе| т| i -q г \ ау' У'_}_ Т "Т I
Т' 2"(' т' "Т
- координаты ф2 в базисе I \ i $ 1
I Т* _Т
то
(Vg ^1> фг) = (^1. ТдЬ)>
где Vg--оператор представления х, а Тд-оператор представления т. Как мы
