Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
259
—— e"»<> (s)) (78)
V2n \Sj
можно выбрать ортонормированными в смысле скалярного произведения
(ZK, Zk) = S Zt ZK?Q=bKK. (79)
При отсутствии магнитного заряда еР = 0 система уравнений '(74) симметрична относительно инверсии координат 0—»-я—0:
сл ся
•оператор ,24/2 при этом переходит в —=Sf 1/2, и мы получаем ту же самую систему с заменой S*->-S'. Таким образом, 5 (я—0) = = CS7(O)1 где С — некоторая постоянная. Для Л=0, еР=0 система (74) сводится к рассмотренной Чандрасекаром [289], более подробный анализ был дан в работах [301—302]. При р, = 0 ее решениями будут спиновые сфероидальные функции со спиновым весом ±1/2. В случае а = Л=0, еРФ0 получим спиновые
сферические гармоники.
Обратимся теперь к системе радиальных уравнений (73). Нетрудно показать, что для любой пары решений Sl1 = (R1, Rі} и St2 = (R2, R2] этой системы является постоянным вронскиан — определитель вида
R1 Rl
Wm1,^)=
Rv
= R1R2-R2Rli^ = O (80)
dr
(штрих здесь не обозначает производные!). Поскольку при комплексном сопряжении уравнения системы (73) переходят друг в друга, то каждой паре решений 31={R, R'} соответствует также
пара ={R'*, jR}. Поэтому не зависящим от координаты г будет также вронскиан
W(&,&f)=\R\2-\R'\2. (81)
Исключив из системы (73) функцию R', получим уравнение второго порядка для R
(it/2®0- + (82)
совпадающее по форме с уравнением Чандрасекара [289]. Входящие в это уравнение операторы имеют, однако, более общий вид и переходят в операторы Чандрасекара лишь при Л=0, еР = = 0.
Квантовое рождение частиц
Для проведения вторичного квантования необходимо построить полную систему классических решений с заданными гра-
9* 260
ГЛАВА vii
массивные поля около черных дыр
ничнымн условиями. Рассмотрим сначала асимптотическое поведение радиальных функций R и R' на горизонтах событий. Вводя черепашью координату dr*= (r2+a2)dr/Ar, нетрудно показать, что при г* =Foo
Ar?0~d/dr'-ikH, Ar2$~d/dr' + ikH. (83)
Как видно из (73), (83), вблизи горизонтов
tf~exp (ikHr*); tf'-exp (—ikHr*), (84)
т. е. R описывает волну, выходящую из-под горизонта событий: черной дыры и уходящую за космологический горизонт, a R' — выходящую из-за космологического горизонта и поглощаемую черной дырой. Такое поведение характерно как для безмассовых, так и массивных частиц (на горизонтах частицы эффективно становятся безмассовыми). Заметим, что коэффициенты перед экспонентами в (84) не связаны между собой.
В промежуточной области 2) (г+ <С «С г++, рг» |?|) получаем простую систему
© = /(о; ——i(UR = ipR', + iaR' = —ipR, (85)
дг дг
общее решение которой имеет вид
R = Ofihtr+?e-i>tr, R'= aeixr---±UL?e-iKr) (86)
ц ц
где х=(ш2— ц2)1/2; а и ? — произвольные постоянные.
Введем два линейно независимых решения <51<+) = {/?<+); R и fai++) = {R(++\ R'(++)} системы (73) таким образом, чтобы 31(+) описывало «чистую» падающую волну на горизонте черной дыры, а — волну, уходящую за космологический горизонт. Тогда первое решение вблизи космологического горизонта будет содержать как волну, распространяющуюся в направлении к черной дыре (падающую волну), так и волну в обратном направлении (отраженную), соответственно второе решение будет содержать вблизи горизонта событий черной дыры волну, движущуюся в направлении космологического горизонта (падающую) и обратно (отраженную). Выберем нормировку так, чтобы в обоих случаях падающие волны входили с единичным коэффициентом. Учитывая соотношения (86) в промежуточной области, а также постоянство вронскиана W 31(++)), можем написать.
%
О, Te-tV*, г*-»-- CXD,
— yeiw--S-=- 6е~'кг, уе'мг + бег~ы
CO X + со
§ 20." массивное поле co спином 1/2 .
261
-Leik^'
T
f)V<V,r-__со.
е~ і™, aeiw + ?e~iyr, r<=3), >
¦к + u)
eik++r'
0,
OO. }
(87)
Приравнивая асимптотические значения вронскиана tA(+)t), находим соотношение между полным коэффициентом прохождения T и коэффициентом отражения о
М2+М2=1, (88)
выражающее собой сохранение потока вероятности. В отличие от случая скалярного поля коэффициент при |т|2 всегда положителен и при кн < 0, т. е. усиления волн при отражении от дыры не происходит. Заметим, что отсутствие суперрадиации для дираков-ского поля является следствием классических уравнений поля вне видимой связи со статикой Ферми—Дирака, заведомо исключающей возможность индуцированных процессов (каковым является эффект усиления волн целочисленного спина при отражении от вращающейся черной дыры в режиме суперрадиации кн <0). С другой стороны, как впервые указал Бекенштейн [303], при выполнении соотношения dJ/dQ =т/а> между проекцией момента количества движения dJ на ось симметрии и dQ энергией парциальной волны условие суперрадиации dQ < 0 при А+ < О с необходимостью следует из теоремы Хокинга о неубывании площади поверхности горизонта событий dsi- ^ 0, что очевидно из (1.27). Поскольку неравенство dsi->- О следует из условия положительности энергии, отсутствие суперрадиации для классического фермионного поля должно означать, что классическая плотность энергии этого поля вблизи горизонта событий отрицательна. Подстановка асимптотик (87) в соответствующие компоненты тензора энергии-импульса (57) действительно подтверждает эти соображения (см. также [2, 288, 304]).
