Введение в вычислительную физику - Федоренко Р.П.
ISBN 5-7417-0002-0
Скачать (прямая ссылка):
/(/) — Ln (/), например между In и tn+l, имеется хотя бы один
нуль производной. Обозначим его t'n. *
Итак, в точках долином L'n (t) совпадает с /'(О-
Точность аппроксимации производных / производными Ln падает как за счет понижения порядка полинома, так и за счет возможного появления в новой сетке неравномерного распределения
шагов ^1-C
Сплайн-интерполяция. В последние годы большое распространение в прикладных исследованиях получил новый, достаточно точный вид интерполяции, требующий, однако, от функции существенно меньшего запаса гладкости, чем интерполяционный полином. Происхождение этого аппарата интерполяции и сам термин «сплайн» связывают с техническим приемом чертежников. При необходимости провести непрерывную кривую через сеточный график {tn, fn}Lo на бумаге наносят точки (tn, /п), около каждой из которых втыкают рядом друг с другом две булавки, и через образовавшийся «коридор» пропускают тонкую, гибкую и упругую стальную линейку («сплайн»). Форма, которую принимает эта линейка (вдоль нее и проводят требуемую линию) решает, как мы увидим, задачу гладкой интерполяции.
Математическое исследование объяснило популярность описанного приема, заменяющего работу с лекалом. Полученная кривая оказывается дважды непрерывно дифференцируемой, а это свойство очень ценится в технике. Пример, который приводили в годы учебы автора и, верно, приводят сейчас: железнодорожный путь должен быть кривой с непрерывной второй производной. В противном случае в местах разрыва второй производной при движении поезда возникает «удар», разрушающий и рельсы, и колеса.
Упомянутое исследование читатель без труда проведет сам. Пусть y(t) — форма, которую принял «сплайн». Tеория упругости определяет эту форму требованием минимума энергии упругого со-
40
ОСНОВЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ
[Ч.І
стояния. Таким образом, y(t) определяется решением вариационной задачи
т
min ( [/'(Ol2 dt при y(tn) — /„, n = 0, 1, ..., JV.
»(•) о
Здесь у(-) — функция y(t), рассматриваемая целиком как точка функционального пространства, a y(t) — в данном случае число, являющееся значением функции в точке t.
Элементарное вариационное исчисление сразу дает результат: внутри интервалов [tn, tn+i] функция y(t) удовлетворяет «уравнению Эйлера» d4y/dt4 = 0 и условиям трансверсальности, которые во внутренних узлах Iv ..., tN_{ сводятся к непрерывности первых и вторых производных. Из уравнения Эйлера следует, что y(t) является кубическим многочленом: на каждом интервале [tn, tn+1\ имеется свой кубический многочлен, и все они гладко сопрягаются друг с другом.
Итак, с алгоритмической точки зрения сплайн y(t) определяется таблицей
{ап+1/2> Ьп + 1/а» сп+1/2’ ^п+1/2^п = 0 и формулой вычисления
y(t) = ап + 1/2 Iі + ^п + 1/2 Сп +1/2 * dn +1/2> t Є [tn, tn + l]-
Построение сплайна по таблице {tn, /„}^=0 требует, таким образом, вычисления AN коэффициентов. Для этого мы имеем следующие уравнения. Каждый кубический полином на концах своего интервала \tn, tn+l\ принимает заданные значения fn и fn+v Это, очевидно, дает IN линейных уравнений. В каждой внутренней точке сетки tt, t2, ..., tN-i имеем два условия, приравнивая правые и левые значения первой и второй производных, т.е. еще 2(JV — 1) линейных уравнений. Оставшиеся два уравнения получаем из условий трансверсальности при t — 0 и t = Т.
Мы не будем здесь выписывать конкретного вида уравнений, не будем излагать и метода их решения (при больших N это самостоятельная проблема, требующая применения специфического алгоритма). Соответствующие вопросы давно решены, алгоритмы разработаны, описаны в многочисленных руководствах и включены в математическое обеспечение ЭВМ как CfaHflapTHHe программы. Мы ограничимся лишь общими сведениями о сплайнах. Этот аппарат был существенно обобщен и развит. В частности, разработаны методы двумерного гладкого восполнения функций, т.е. построения на основе таблицы {fk m}, заданной на
§3]
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ
41
двумерной сетке узлов {хк, ут} (к = О, 1, К, т = 0, 1, М),
гладкой интерполирующей поверхности /(х, у), точки которой достаточно легко вычисляются. Сплайны нашли широкое применение при описании пространственных форм разных изделий. Они часто сообщаются (из конструкторских бюро на производства) таблицами (сеточными функциями) с указанием, что недостающие точки поверхности можно получить сплайн-интерполяцией.
Интерполяция конечными элементами. Опишем аппарат восполнения функции, заданной на сетке, до некоторой непрерывной функции той или иной степени гладкости (т.е. имеющей заданное число непрерывных производных). Первоначально интерполяция рассматривалась как способ приближенного (но достаточно «дешевого» по затратам вычислительной работы) вычисления функций, «точные» значения которых в узлах сетки можно было найти каким-либо очень «дорогим» алгоритмом. В настоящее время методы интерполяции рассматриваются и используются в несколько ином аспекте — как способы конечномерной аппроксимации тех или иных функциональных пространств.
