Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эйнштейн А. -> "Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1" -> 94

Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 — М.: Наука, 1965. — 702 c.
Скачать (прямая ссылка): sobranienauchnihtrudovt11965.djvu
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 263 >> Следующая

сначала дополнение 30
Tik - у 2ег/1>у-в^ (41)
30 Множитель V2 служит лишь для упрощения результате в' и с точки зрения
теории инвариантов несуществен.
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1913 г,
ИЛИ
^12- - У g • @23, (41а)
т23 = У1-еи, ти = У}-в 31, т31 = Vg-e".
Искомый дуальный тензор является обратным этому дополнению, т. е. имеет
вид
Последовательность обеих операций - дополнения и образования обратного
тензора - в силу взаимности обоих дискриминантных тензоров является
обратимой.
§ 4. Математические дополнения к физической части
1. Доказательство ковариантности уравнений энергии-импульса.
Следует доказать, что соотношения (10) части I, которые с точностью до
множителя У - 1 имеют вид
ковариантны относительно произвольных преобразований.
Согласно формуле (35) дивергенция контравариантного тензора 0^ равна
Следовательно, ковариантный вектор Та, обратный этому контрава-риантному
вектору (c)р., есть
(42)
Однако последний член этой суммы равен
21
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
Таким образом, получаем
т. = 24= -?г (Гг-go,-в,.) - т 2 • в>"
P.V V g 0Хч z p,v
т. е. с точностью до множителя i/Уg левую часть исследуемого соотношения.
Если это соотношение разделить на Уg, то его левая часть будет
представлять о-компоненту ковариантного вектора, т. е. действительно
является ковариантной. Поэтому содержание этих четырех соотношений можно
выразить следующим образом.
Дивергенция (контравариантного) тензора энергии-натяжений тока материи
или физической системы обращается, в нуль.
2. Дифференциальные тензоры многообразия, заданного его линейным
элементом.
Проблема нахождения дифференциальных уравнений гравитационного поля
(часть I, § 5) связана с рассмотрением дифференциальных инвариантов и
дифференциальных ковариантов квадратичной формы
ds2 = 2 g^dr^ dx.,.
IJ.V
Теория этих дифференциальных ковариантов в смысле нашего обобщенного
векторного анализа приводит к дифференциальным тензорам, определяемым
гравитационным полем. Полная система этих дифферент циальных тензоров
(относительно произвольных преобразований) сводится к найденному
Риманом31 и независимо Кристоффелем32 ковариантному дифференциальному
тензору четвертого ранга, который мы будем называть дифференциальным
тензором Римана и который имеет вид
/?. /~л _ 1 (d2girn I d2S,cl d2Sil d2gmlc \ ,
lklm ' 2 \dxkdxi + дх{дхт dxkdxm dxldxi J
+
. VI /'im'lFkll Гг'ЛГ/стТХ //o\
+ 2rJ 0 -p 0 . ез)
Произведя ковариантные алгебраические и дифференциальные операции, мы
получаем из дифференциального тензора Римана и дискриминантного тензора
[§ 3, формула (38)1 полную систему дифференциальных тензоров (а
следовательно, и дифференциальных инвариантов) многообразия.
31 В. R i е m a n n. Ober die Hypotesen, welcbe der Geometrie zugrunde
liegen, 1854. (См. перевод в сб. "Об основаниях геометрии". М., 1956.-
Ред.)
32 См. цитированную выше работу [J. Math., 1869, 70, 46].
201
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1913 г*
Величины (ik, 1т) называются также четырехзначковыми символами
Кристоффеля первого рода. Наряду с ними применяются четырехзначковые
символы второго рода
№'"| + т
их I р
которые сйязаны с символами Кристоффеля первого рода соотношениями
{ф, Im} = S урк (ik, 1т) (45)
или
(ik, 1т) = 1т}.
В обобщенном векторном анализе четырехзначковые символы Кристоффеля
второго рода имеют смысл составляющих смешанного тензора, кон-
травариантного по трем значкам и ковариантного по одному значку33.
Важнейшее значение этих понятий для дифференциальной геометрии
многообразия, заданного своим линейным элементом34, позволяет априори
предположить, что эти обобщенные дифференциальные тензоры могут оказаться
полезными и для составления дифференциальных уравнений гравитационного
поля. Действительно, можно сразу указать ковариантный тензор второго
ранга и второго порядка Gim, который мог бы входить в эти уравнения, а
именно:
Gim = 2 Гк1 (ik, lm) = 2 {ik, km}. (46)
Id К
Однако в частном случае бесконечно слабого статического поля тяжести этот
тензор не сводится к Дф. Поэтому вопрос о том, как далеко простирается
связь проблемы уравнений гравитационного поля и общей теории
дифференциальных гензорОв, связанных с гравитационным полем, остается
открытым. Такая зависимость должна была бы существовать, если бы
уравнения гравитационного поля допускали произвольные преобразования;
однако в этом случае, по-видимому, совершенно невозможно ограничиться
дифференциальными уравнениями второго порядка. Напротив, если бы
оказалось, что уравнения гравитационного поля допускают только одну
определенную группу преобразований, то возможность обойтись
23 Это следует из самого первого соотношения (45).
24 Тождественное равенство нулю тензора Кц^т представляет собой
необходимое
и достаточное условия того, чтобы дифференциальная форма могла быть
приве-
дена к виду 2ete|.
262
21
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed