Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
21
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
который мы будем называть "скаляром Лауэ" 17. В этом случае можно до
известной степени оправдать закон эквивалентности инертной и тяжелой
масс. Лауэ обратил внимание на то, что для замкнутой системы выполняется
равенство
5 PdV = ^ Tudr.
Отсюда видно, что согласно этой точке зрения тяготение в замкнутой
системе определяется ее полной энергией.
Однако тяготение незамкнутой системы зависело бы от натяжений Тц и т. д.,
которым подвержена система. Отсюда возникают следствия, которые, как
будет показано на примере излучения в полости, представляются нам
неприемлемыми.
Для излучения в вакууме скаляр Р, как известно, равен нулю. Если
излучение заключено в невесомый зеркальный ящик, то стенки ящика
испытывают напряжения растяжения; вся система как целое обладает
тяжелой массой ^ Pdr и соответствующей энергией Е.
Теперь представим себе, что излучение находится не в полом ящике, а что
оно ограничено: 1) неподвижными зеркальными стенками закрепленной шахты
S,
2) двумя зеркальными стенками WmWz, которые могут двигаться в
вертикальном направлении. В этом случае
тяжелая масса jj Pdr подвижной системы составляет только одну треть
значения, которое она принимает в случае ящика, могущего двигаться как
целое. Тогда, если подымать ящик с излучением против гравитационного
поля, то в этом случае пришлось бы затратить только одну треть работы от
той, которая затрачивалась в только что рассмотренном случае, когда
излучение заперто в ящике. Это представляется нам неприемлемым.
Однако с моей точки зрения самое действенное возражение против подобной
теории основано на убеждении, что относительность справедлива не только
для ортогональных линейных преобразований, но и для значительно более
широкой группы преобразований. Однако мы не можем считать это возражение
решающим хотя бы потому, что нам не удалось отыскать (наиболее общую)
группу преобразований, связанную с нашими уравнениями гравитации.
17 См. последнюю формулу в § 1 части II.
Г, Со
U 'i
247
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1913 г.
II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 18
Математический аппарат для построения векторного анализа гравитационного
поля, характеризуемого инвариантным элементом длины
ds1 = 2 g^dx^dxv,
[XV
по существу заложен в фундаментальной работе Кристоффеля19 о
преобразовании квадратичных дифференциальных форм. Исходя из результатов
Кристоффеля, Риччи и Леви-Чивита20 развили свой метод абсолютного, т. е.
независимого от координатной системы, дифференциального исчисления,
который позволяет придать инвариантную форму дифференциальным уравнением
математической физики. Поскольку же векторный анализ для произвольных
криволинейных координат в эвклидовом пространстве формально тождествен
векторному анализу в произвольном многообразии, заданном своим линейным
элементом, то на упомянутую общую теорию Эйнштейна без труда,
распространяются понятия векторного анализа, разработанные в последние
годы Минковским, Зоммер-фельдом, Лауэ и другими для специальной теории
относительности.
Получаемый таким путем обобщенный векторный анализ при некотором навыке
оказывается столь же простым, как и в частном случае трех-или
четырехмерного эвклидова пространства; дело в том, что большая общность
придает ему ясность, которой порой лишены частные случаи.
Теория специальных тензоров (§ 3) подробно рассмотрена в статье Коттлера
21, появившейся во время выполнения настоящей работы и основанной на
теории интегральных форм.
Поскольку с теорией гравитации Эйнштейна, в особенности же с проблемой
дифференциальных уравнений гравитационного поля, неизбежно связаны
обширные математические изыскания, то систематическое изложение
обобщенного векторного анализа представляется вполне уместным. При этом
мы намеренно отказываемся от геометрических иллюстраций, так как, по
нашему мнению, они мало что дают для наглядности логических построений
векторного анализа.
18 Эта часть работы написана Марселем Гроссманом.- Прим. ред.
19 Christoffel. tTber die Transformation der homogenen
Differentialausdriicke zweiten Grades. J. Math., 1869, 70, 46.
20 Ricci, Levi-Civita. Methodes de calcul differentiel absolu et leurs
applications. Math. Ann., 1901, 54, 125.
21 К о 11 1 e r. Ober die Raumzeitlinien der minkowskischen Welt. Wien,
Berlin, 1912, 121.
248
21
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
§ 1. Общие тензоры
Пусть
ds2 = ^ g^dxpdxv (1)
HV
есть квадрат линейного элемента, который рассматривается как инвариантная
мера расстояния между двумя бесконечно близкими точками пространства-
времени. Последующие выводы (если нет специальных оговорок) не зависят от
числа переменных; последнее обозначим через п.
При преобразовании переменных
Xi = Xi (Xv Xv . . . Xn) (i = 1,2, 71) (2)
или их дифференциалов
dxi = 2 dx'h = 2 Vikdxk (3)
к дхк к
t доС'
dXi z= 2 игdxit = 2 nikdx*
к h к
коэффициенты линейного элемента преобразуются по формулам
