Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эйнштейн А. -> "Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1" -> 87

Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 — М.: Наука, 1965. — 702 c.
Скачать (прямая ссылка): sobranienauchnihtrudovt11965.djvu
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 263 >> Следующая

линейных преобразований, то величина
NHy д(r)а.р..Л
г*
есть контравариантный тензор ранга п + 1 относительно линейных
преобразований (расширение) 14.
10 Ср. часть II, § 4, пункт 2.
11 См. также соображения, приведенные в начале § 6. (См. также стр. 265-
Ред.)
12 Ср. часть II, § 2.
13 См. примечание на стр. 253 (ч. II, § 2).
14 'I'n.v есть контравариантный тензор, обратный (см. часть II, § 1).
237
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1913 г.
2. Если (c)aj3... х есть контравариантный тензор ранга п относительно
линейных преобразований, то
^ дх\
есть контравариантный тензор ранга п - 1 относительно линейных
преобразований (дивергенция).
Выполняя над некоторым тензором обе операции поочередно, мы получаем
тензор того же ранга, что и первоначальный (операция А, примененная к
тензору). Применяя эти операции к фундаментальному тензору,, получаем
41 а / dr
дх, (Т^ Э*1 ) •
Следующее рассуждение показывает, что этот оператор является родственным
оператору Лапласа. В обычной теории относительности (когда гравитационное
поле отсутствует) следовало бы положить
gll = §22 = g33 = -1, g44 = С2, = О ДЛЯ Ц =j= V,
следовательно,
Тп = Т22 = Тзз = - 1, Т44 == ~2~" Tn.v == 0 для ц =f= v.
Если же имеется достаточно слабое гравитационное поле, т. е. если gpv и
отличаются от этих значений на бесконечно малую величину, то, пренебрегая
членами второго порядка, вместо выражения (а) получаем
д2Гр,у j.
дх^ дх2 дхg °2 дх^
Если поле статическое и переменной является только величина g44,. то мы
приходим к случаю ньютоновской теории гравитации, если положим, что
полученное выражение с точностью до постоянного множителя отождествляется
с величиной IV,
Поэтому можно считать, что выражение (а) с точностью до постоянного
множителя и есть искомое обобщение Дф. Однако это было бы ошибкой, ибо
при таком обобщении в подобное выражение могли бы войти члены, сами
являющиеся тензорами и обращающиеся в нуль в результате сделанных
допущений. Это относится к тем случаям, когда две первые" производные g^
или умножаются друг на друга. Так, например,
VI dgag dTgg
дх * дх afl и- v
238
21
Проект обобщенноЗ теории относительности и теории тяготения
есть ковариантный тензор второго ранга (относительно линейных
преобразований); он становится величиной, бесконечно малой второго
порядка, когда и Ya? отличаются от постоянных лишь на бесконечно малые
величины первого порядка. Поэтому необходимо допустить, что в наряду с
(а) входят еще другие члены, для которых пока должно выполняться только
одно условие, а именно: они все вместе должны иметь тензорный характер
относительно линейных преобразований.
Для отыскания этих членов обратимся к закону сохранения энергии-импульса.
Для пояснения применяемого метода продемонстрируем его сначала на
общеизвестном примере.
П дф
Ь электростатике есть v-я компонента импульса, передаваемого
единичному объему вещества, если ф означает электростатический потенциал,
ар - плотность заряда. Для ф ищется дифференциальное уравнение, которое
всегда удовлетворяет закону сохранения импульса. Известно, что решением
задачи служит уравнение
Выполнение закона сохранения импульса доказывается тождеством
Итак, если импульс сохраняется, то для каждого v должно существовать
тождество следующей структуры: в правой части стоит произведение - на
левую часть дифференциального уравнения, в левой
части - сумма производных.
Если бы дифференциальное уравнение для ф еще не было известно, то задача
его получения свелась бы к нахождению этого тождества. Для нас
существенно только то, что это тождество можно вывести, зная один из
входящих в него членов. Необходимо лишь повторно применять правило
дифференцирования произведения
а затем переносить производные в левую часть, остальные члены в правую
часть. Например, если исходить из первого члена написанного выше тож-
dxj дхv 2j дзл [
(X г*
дер \а' дф ^ д2ф /
и
23"
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1913 г.
дества, то поочередно получим:
^ д (Эф Эф \ ^ Эф д2ф , ^ Эф д2ф
2j ~дх^ ~ 2}Щ,' + 2 дх~ ' дх^дх
[J- [J- г ^ ^
, А/1V
дяу 2j 3ж2 "г джД 2 2j \dxj f '
откуда после перегруппировки следует указанное тождество.
Вернемся теперь к нашей задаче. Из соотношения (10) следует, что
4-2 (° = 1.2. 3,4)
[XV о
есть импульс (или энергия), передаваемый гравитационным полем единице
объема вещества. Чтобы выполнялся закон сохранения энергии-импульса,
необходимо так выбрать дифференциальные выражения Г^, входящие в
уравнения гравитации
у(н) = Г
чтобы сумму
JL V |Л . d^p-v р
2и ZJ У ь дх 1 [xv
[XV 0
можно было преобразовать в сумму производных. В то же время известно, что
в искомое уравнение для входит член (а).
Следовательно, искомое тождество имеет вид
Сумма производных = 4-2 ¦ -Д [2 g~ (г"з Д) +
+ другие члены, обращающиеся в нуль в первом приближении}-
Тем самым искомое тождество определяется однозначно; образуя его
указанным выше способам, получаем
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed