Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
[xv [j.vpa
234
21 Проект обобщенной теории относительности и теории
тяготения
то между определителем
8= |SWl"
т. е. дискриминантом квадратичной дифференциальной формы ds2, и
определителем преобразования | aPG J существует соотношение
^ • | осра |2 = -1,
или
I аР0 I = лг .
V - S
Следовательно, для V получаем соотношение
1
Vdt - VQ ds-
У-g'
Отсюда с помощью равенств (7), (8) и (9) после замены ^ на р0 полу-
чаем
У 8'2j8u' j.
dtc.
ТГ =-Po к
- E ,/¦ dxv dXi
~y Po У § ' ds * ds "
& 1 -,/ sr\d8^ dxy. dx*
s, =Po У-2i-aJT •-rff • rfT •
И
Заметим, что
=. dxv. dxv
"PO ' ds
есть контравариантный тензор второго ранга относительно произвольных
преобразований. Из сказанного выше можно предположить, что закон
"охранения импульса-энергии имеет вид
3^-(К=?-?сА.)-4-2Г^^-0,. = О (о = 1,2,3.4). (10)
V y,v 0
ПервьГё три из этих соотношений (сг == 1,2,3) выражают закон сохранения
импульса, последнее (сг = 4) - закон сохранения энергии. Эти соотношения
действительно оказываются ковариантными относительно произвольных
преобразований 9.
9 Ср. часть II, § 4, п. 1.
235
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1913 г.
Кроме того, интегрированием по линии тока из этих соотношений можно снова
получить наши исходные уравнения движения материальной точки.
Тензор (c)P.V назовем (контравариантным) тензором энергии-натяжений
материальных тел. Соотношению (10) мы приписываем область применимости,
далеко выходящую за рамки частного случая движения несвязанных масс. Это
соотношение выражает вообще энергетический баланс между гравитационным
полем и любой материальной системой; необходимо лишь придавать (c)^v то
значение, которое соответствует тензору энергии-натяжений рассматриваемой
системы. Первая сумма в указанном соотношении содержит пространственные
производные натяжений или плотности потока энергии и временные
производные импульса или плотности энергии; вторая сумма выражает влияние
гравитационного поля на материальный процесс.
§ 5. Дифференциальные уравнения гравитационного поля
После того как мы получили выражение энергии-импульса для материальных
явлений (механических, электрических и других) в их связи с
гравитационным полем, перед нами стоит еще следующая задача. Пусть задан
тензор (c)^v для материальной системы. Какими будут дифференциальные
уравнения, позволяющие определить величины gik, т. е. гравитационное
поле? Другими словами, мы ищем обобщение уравнения Пуассона
Дф = 4яхр.
Для решения этой задачи мы не нашли метода, который был бы столь же
естественным, как в случае предыдущей задачи. Нам пришлось ввести
некоторые далеко не очевидные, хотя и вероятные допущения.
Искомое уравнение, по |1сей вероятности, должно иметь вид:
х0и = Ги, (И)
где х - постоянная, - контравариантный тензор второго ранга, образованный
из производных фундаментального тензора g
В соответствии с законом Ньютона - Пуассона представляется разумным
потребовать, чтобы эти уравнения (11) были уравнениями второго порядка.
Однако следует возразить, что это предположение не позволяет найти
дифференциальное выражение, являющееся обобщением Дф, кото-
236
21
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
рое было бы тензором10 по отношению к произвольным преобразованиям.
Априори нельзя утверждать, что окончательные точные уравнения гравитации
не могут содержать производных выше второго порядка. Поэтому все еще
существует возможность, что окончательные точные дифференциальные
уравнения гравитации могут быть ковариантными относительно произвольных
преобразований. Однако при современном состоянии наших знаний о
физических свойствах гравитационного поля обсуждение подобных
возможностей было бы преждевременным. Поэтому мы вынуждены ограничиться
уравнениями второго порядка и, следовательно, отказаться от поисков
уравнений гравитации, ковариантных относительно произвольных
преобразований. Необходимо впрочем подчеркнуть, что у нас нет никаких
оснований для общей ковариантности уравнений гравитации 11.
Скалярный лапласиан Дф получается из скаляра ф посредством применения
последовательных операций градиента и дивергенции. Обе операции можно
обобщить так, что они могут применяться к каждому тензору как угодно
высокого ранга, допуская при этом произвольные замены основных переменных
12. Однако эти операции вырождаются, если их проделать над
фундаментальным тензором g^v13. Отсюда, по-видимому, следует, что искомые
уравнения должны быть ковариантными относительно только одной
определенной пока неизвестной нам группы преобразований.
Обращаясь к прежней теории относительности, естественно предположить при
этих обстоятельствах, что в искомую группу преобразований должны входить
линейные преобразования. Следовательно, мы требуем, чтобы величины
составляли тензор относительно произвольных линейных преобразований.
Выполнив преобразование, легко доказать следующие теоремы.
1. Если (c)а/з...\ есть контравариантный тензор ранга п относительно
