Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
Н = - т -jj- - - т guXi -j-... -j- 2gi%XiX2 -j-... -J- 2gux^ -j-... + gu-
(5)
231
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1913 г.
Из соответствующих уравнений Лагранжа
d (дН \ дН п
ж{тгг^ = 0пт-д- (6)
сразу получаются выражения для импульса I материальной точки и силы $,
действующей на нее со стороны гравитационного поля,
т _ guXi + gizXz + giaXagu _ _ gn dxi + g12 dx2 +
gis dx3 -f gLi dxi /74
x~ Ts ds '
dt
- dx.dx,
. dxi ^ v 1 , dx" dx"
= Tm~ d^dt - = TШ * ^ ' ~dT ~dT ' ^
Далее для энергии E материальной точки получаем Г, (• дН . \ , rr
I dx 1 dx2 , dx3 , dx^ \
-E=,-[xli- + ---rH = ~ + + "ST + -sr)-
(9)
В обычной теории относительности допускаются только линейные
ортогональные преобразования. Мы покажем, что для описания воздействия
гравитационного поля на материальные процессы можно составить уравнения,
ковариантные относительно произвольных преобразований.
Прежде всего, исходя из роли, которую играет ds в законе движения
материальной точки, мы можем заключить, что интервал Одолжен быть
абсолютным инвариантом (скаляром); отсюда следует, что величины g^v
образуют ковариантный тензор второго ранга6, который мы будем называть
ковариантным фундаментальным тензором. Последний определяет
гравитационное поле. Далее, из формул (7) и (9) следует, что импудьс и
энергия материальной точки совместно образуют ковариантный тензор первого
ранга, т. е. # ковариантный вектор7.
6 См. часть II, § 1.
7 См. там же.
232
21
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
§ 3. Значение фундаментального тензора gpv для измерения пространства и
времени
Из сказанного ранее можно сделать вывод, что между пространственно-
временными координатами хъ х2, х3, ж4 и результатами измерений,
полученными с помощью масштабов и часов, не существует такой простой
связи, как в обычной теории относительности. По отношению ко времени это
обнаружилось уже для статического гравитационного поля8. Поэтому
возникает вопрос о физическом смысле (принципиальной измеримости)
координат хх, х2, х±.
Заметим к тому же, что ds следует понимать как инвариантную меру для
расстояния между двумя соседними пространственно-временными точками.
Поэтому интервал ds должен также иметь физический смысл независимо от
выбранной системы отсчета. Предположим, что ds есть "естественно
измеренное" расстояние между двумя пространственно-временными точками;
под этим мы будем понимать, что непосредственная окрестность точки (хх,
х2, х3, ж4) определяется в координатной системе бесконечно малыми
переменными dxx, dx2, dx3, dxx. Представим себе, что вместо последних
линейным преобразованием вводятся новые переменные d?,2, d'B,з, d^ так,
что выполняется равенство
При этом преобразовании g^ следует считать постоянным; вещественный конус
ds2 - О оказывается стянутым к своей оси. Тогда в этой элементарной (^-
системе справедлива обычная теория относительности, а расстояния и
промежутки времени имеют в этой системе такой же физический смысл, как и
в обычной теории относительности, т. е. ds2 есть квадрат четырехмерного
расстояния между двумя бесконечно близкими точками, измеренного при
помощи неускоренного в системе d% твердоге тела и покоящихся в этой
системе единичных масштабов и часов.
Отсюда видно, что при данных dxx, dx2, dx3, dx4 соответствующее этим
дифференциалам естественное расстояние можно измерить только в том
случае, если известны величины g^, определяющие гравитационное поле. Это
же можно выразить так: гравитационное поле влияет на измерительные тела и
часы вполне определенным образом.
Из основного равенства
ds2 = dll + dtl + dl23 - di
2
>4-
8
См., например, A. Einstein. Ann. Phys., 1911, 35, 898. (Статья 14).
23"
Проект обобщенной теории относительности и теории тяготения
1913 г.
видно, что для установления размерности величин и требуется еще одно
условие. Величина ds имеет размерность длины. Условимся, что (в том числе
ж4) также имеют размерность длины; тогда величины g^v будут
безразмерными.
§ 4. Движение непрерывно распределенных несвязанных масс в произвольном
поле тяжести
Для вывода закона движения непрерывно распределенных несвязанных масс
вычислим импульс и пондеромоторную силу на единицу объема и применим
затем закон сохранения импульса.
Для этого сначала вычислим трехмерный объем V нашей материальной точки.
Рассмотрим бесконечно малый (четырехмерный) отрезок пространственно-
временной траектории нашей материальной точки. Объем этого отрезка есть
г" г"
dx-i dx2 dxз dxi - Vdt.
Если вместо dx ввести естественные дифференциалы причем измерительный
масштаб предполагать покоящимся относительно материальной точки, то
получим
dh d-Ъ,2 з = Уо" т. е. "покоящийся объем" материальной точки. Далее
d% 4 = ds,
где ds имеет тот же смысл, что и выше.
Если дифференциалы dx связаны с соотношениями
/ dxy. =
то
ffi** "**¦ **• =Щ ZZ:ZZdMdl>dl2 ^ ^
или
V dt - V0ds-1 ocpa J.
Однако, так как
ds2 = g^v dXy. dxv = d^pd^Q = dc¦-}- dfc,2 -J- 3 ^54"
