Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, уравнения движения должны иметь вид:
если обозначить через &хз ж-компоненту силы, действующей на точку со
стороны гравитационного поля, а через $ха ж-компоненту равнодействующей
сил другого происхождения. Вопрос теперь сводится к тому, каким должно
быть выражение для &3. Если речь идет об одной точке, для которой q - 0,
то сила должна быть пропорциональной вектору -га grad с (если только
предположить, что статическое гравитационное поле характеризуется
величиной с). Эта сила может отличаться от/ - га grad с только
множителем, зависящим лишь от с; этот множитель из соображений
размерности также должен быть степенью с (т. е. с&). В случае, когда q
=j= О, сила зависела бы также и от q, а именно: зависимость тяжедой массы
ящика; содержащего движущиеся упругие материальные точки, была бы той же,
что и у любой тяжелой массы. Принимая во внимание результаты старой
4 Собственно говоря, можно еще допустить, что импульс зависит от
пространственных производных с. Однако мы предположим, что это не так.
212
18 К теории статического гравитационного поля
теории относительности, этого можно достичь лишь в том случае, если
предположить, что
& _ т grad с-ср
У\ _(98/с8)
-const.
Подставив это выражение для в уравнения движения, можно показать, что
выражение $ха х + $уа у + Л2а з может быть производной по времени только
в том случае, если постоянным аир придать значения, при которых
получаются уравнения движения, указанные в нашей предыдущей работе.
Следовательно, нужно либо останавливаться как на этом, так и на
получающемся отсюда выражении (4), либо вообще отказаться от всей теории
(определения гравитационного поля посредством с).
Таким образом, устранение названного противоречия закону равенства
действия и противодействия, по-видимому, возможно только путем замены
уравнений (3) и (За) другими однородными по с уравнениями, для которых
этот закон выполняется при использовании выражения (4) для силы. На этот
шаг тяжело решиться, так как с ним мы покидаем область справедливости
принципа эквивалентности. По-видимому, последний можно сохранить только
для бесконечно слабых полей. Наш вывод уравнений движения материальной
точки и уравнений электромагнитного поля справедлив только потому, что
уравнения (2) применяются в нем к бесконечно малым областям пространства.
Этот вывод можно связать, например, с более общими уравнениями
с
dc
dx
4 = У,
? = з,
т = d,
где с - произвольная функция х.
С помощью соответствующего преобразования интеграла по произвольному
объему
^ ~ grad cdx
легко убедиться, что закон равенства действия и противодействия будет
выполняться, если мы наряду с сохранением (4) заменим уравнение (За) на
уравнение
сАс y (grad с)2 = /сс2<з, (36)
213
К теории статического гравитационного поля
1912 г.
которое можно привести к виду
Д (Ус) = -j-Vc3,
(36')
где а - плотность весомой материи или, точнее, сумма плотности весомой
материи и плотности энергии, измеренной "карманными" приборами. Из этих
уравнений
Таким образом, закон равенства действия и противодействия действительно
выполняется. Член, добавленный в уравнение (36) для того, чтобы
выполнялся закон равенства действия и противодействия, заслуживает
доверия благодаря следующим соображениям.
Если любая плотность энергии (ас) дает некоторую (отрицательную)
дивергенцию силовых линий гравитации, то это должно сохраняться также и
для плотности энергии самой гравитации. Записывая (36) в форме
легко увидеть, что второй член в скобках следует рассматривать как
плотность энергии гравитационного поляб. Покажем, что этот член
соответствует плотности энергии гравитационного поля в соответствии с
законом сохранения энергии.
Для этой цели представим себе находящееся в конечной области шрост-
ранственное распределение весомых масс (с плотностью с), охватываемое
бесконечно удаленной поверхностью; пусть с в бесконечности стремится к
постоянному значению, насколько это позволяет уравнение (36) или (36').
Тогда нужно показать, что для любого бесконечно малого смещения масс (6#,
б г/, 6z) работа 6А, производимая над системой, рав!на увеличению ЬЕ
интеграла от плотйости энергии, стоящей в скобках предыдущего уравнения,
по всему пространству.
Прежде всего вследствие (4) получаем
6 Следует отметить, что она, как и у Абрагама, сохраняет положительное
зна
скХх - дх дх
причем , дс дс
чение.
214
18
К теории статического гравитационного ноля
Для вычисления 6Е заметим, что 61 ^га~- Сс?т| = б |4 ^ grad2 iKc c/tj = б
|4 ^ grad2 и dtj =
= 85[l?^) + '--]dT = 8{W^d*_ W6"dtb
Первый из этих интегралов (поверхностный интеграл по бесконечно удаленной
поверхности) обращается в нуль, ибо величины би и ^ с увеличением радиус-
вектора R стремятся к нулю соответственно как 1/7? и 1/R2. Второй же
интеграл в силу уравнения поля (36') можно преобразовать следующим
образом:
б { ^ ^ - с/т| = - 4/с ^ vduadx = - 2/с ^ абс dx.
Используя последнее равенство, находим
