Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
случае любого статического гравитационного поля в отсутствие масс4. Во
всяком случае, это уравнение является простейшим из тех, которые
согласуются с соотношением (5).
Легко построить такое, предположительно справедливое, уравнение, которое
соответствовало бы уравнению Пуассона. Именно, из физического смысла с
непосредственно следует, что с определено лишь с точностью до>
постоянного множителя, зависящего от того, какими часами пользуются для
измерения t в начале координат системы К. Уравнение, соответствующее
уравнению Пуассона, должно быть также однородным по с. Простейшее
уравнение такого рода имеет вид
Ас = кср, (56)
где под к следует понимать (универсальную) гравитационную постоянную, а
под р - плотность вещества. Последняя должна быть определена таким
образом, чтобы, будучи заданной распределением масс, т. е. количеством
вещества в элементе объема, она не зависела от с. Этого мы добьемся,
принимая за единицу массы массу одного кубического сантиметра воды вне
зависимости от того, в каком гравитационном потенциале она находится;
тогда р будет представлять собой отношение массы, содержащейся в одном
кубическом сантиметре, к этой единице.
Попытаемся теперь получить уравнения движения материальной точки в
статическом поле тяготения. Для этого сначала найдем уравнения движения
материальной точки, свободно движущейся в поле ускорения, рассмотренном в
§ 1. В системе 2 это движение описывается уравнениями
? =
г] = А2х В2,
? = А3х -f- В3,
где А и В - постоянные. С помощью соотношений (4) эти уравнения при
достаточно малых t можно записать в виде
х = Aict -j- Вх Ц- t2,
у - A2ct -f- В2, z = A$ct -Б В$.
4 В работе, которая скоро будет опубликована (статья 18, § 4.-Ред.),
показано, что уравнения (5а) и (56) не могут считаться абсолютно точными.
Однако в настоящей работе мы еще будем ими пользоваться.
191
17
Скорость света и статическое гравитационное ноле
С помощью одно- и двукратного дифференцирования из первого уравнения
можно получить следующие два уравнения (для момента
Аналогичным образом получаем уравнения для других двух компонент
Эти три уравнения законны лишь для момента t ~ 0. Однако они справедливы
всегда, так как эта временная точка ничем не отличается от остальных, за
исключением лишь того, что мы выбрали ее в качестве начальной. Таким
образом, полученные уравнения и являются искомыми уравнениями свободного
движения частиц в постоянном поле ускорения. Принимая во внимание, что а
- (дс/дх) и (дс/ду) = (dc/dz) = 0, эти уравнения можно переписать в
следующей форме:
При такой записи направление оси х уже не является выделенным; обе части
уравнений имеют векторный характер. Итак, эти уравнения, по-видимому,
можно рассматривать как общие уравнения движения материальной точки в
статическом гравитационном поле, если на эту точку действуют лишь силы
тяжести.
5 Опущенные в разложениях (2) члены не сказываются на результате при
двукратном дифференцировании и последующем приравнивании t нулю.
t = О)5:
х = Агс, х = 2 Агс - ас.
Исключая из этих уравнений А±, получаем
сх - 2сх ~ - ас2,
или
(6)
13*
195
Скорость света и статическое гравитационное поле 1912 г.
Из уравнений (6) сразу же можно сказать, как связаны друг с другом
входящая в уравнение (56) постоянная к и обычная гравитационная
постоянная К. В случае скоростей, малых по сравнению с с, из уравнений
(6) следует
дс дФ
дх
дх
так что уравнение (56) при пренебрежении некоторыми членами можно
записать в виде
Дф = kc2 р.
Мы видим, что
К кс2.
Таким образом, гравитационная постоянная К не совпадает с универсальной
постоянной к) универсальная постоянная есть К[с2.
Умножим уравнения (6) соответственно на тогда, вводя обозначение
-5- и сложим;
q2 = х2 -f- у2 -f- z2
получаем соотношение
d /1
или
dt \ 2 с4
d
dt
- jL
dt = 0;
2c2
следовательно,
Y1 _ (g2/c2)
= const.
(7)
Это соотношение выражает закон сохранения энергии материальной точки,
движущейся в стационарном гравитационном поле. Левая часть этого
соотношения зависит от q точно таким же образом, как и энергия
материальной точки в обычной теории относительности. Поэтому^7 с
точностью до множителя, зависящего только от самой материальной точки, мы
можем рассматривать левую часть соотношения (7) как энергию Е этой точки.
Этот множитель, очевидно, равен массе т, определяемой так, как это
делалось выше, ибо данное там определение массы не зависит от
гравитационного потенциала.
Итак, тг
Е = г , (8)
/1 - (?2 / с2) V '
196
17
Скорость света и статическое гравитационное поле
или приближенно
E = mc+^q2. (8а)
Из второго члена этого разложения следует, что величина, которую мы
назвали энергией, обладает размерностью, отличной от обычной. Это также
согласуется с тем, что величина массы, эквивалентной единице энергии, в с
раз меньше, чем в обычной системе. Кроме того, "кинетическая энергия",
которую в формуле (8) нельзя точно отделить от энергии гравитационного
поля, зависит не только от т и д, но и от с, т. е. от гравитационного
