Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
перпендикулярен направлению относительного движения и нормали к фронту
волны, справедливо, очевидно, такое же уравнение. Поскольку общий случай
можно получить суперпозицией этих двух частных случаев, при введении
новой системы отсчета S' соотношение (10) остается справедливым, и угол
между плоскостью поляризации и плоскостью, параллельной нормали к фронту
волны и направлению относительного движения, в обеих системах одинаков.
III. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ (ЭЛЕКТРОНА)
§ 8. Вывод уравнений движения (медленно ускоряемой) материальной точки
или электрона
Пусть в электромагнитном поле движется частица с электрическим зарядом е
(в дальнейшем мы будем называть ее "электроном"), о законе движения
которой мы предположим следующее.
Если электрон в определенный момент времени покоится в (неускоренной)
системе S', то его движение в S' происходит в дальнейшем в соответствии с
уравнениями
v
1 - - COS ф
(10)
1^1 - (v2jc2)
84
8
О принципе относительности и его следствиях
причем через х0, у0, z0 обозначены координаты электрона относительно S',
а через р, - постоянная, которую мы назовем массой электрона.
Введем систему S, движущуюся относительно S' как в предыдущих на-ших
исследованиях, и преобразуем наши уравнения движения с помощью формул
преобразования (1) и (7а). Первые из этих формул в нашем случае принимают
вид , v
t' = $[t --j-xo
xQ = p {Xo - Vt),
Уо = У,
= z.
Вводя обозначения и т. д., из этих уравнений получаем
dt
dx'o ,8 (*<>-")
И т. д.,
d*x о
dt' / г
П1-,
jL(dXo) /, V*o\" , .VXD
dt \ dt' I 1 V Ca + 0~V) C2
и Т. Д.
Вводя эти выражения в написанные выше уравнения, подставляя х0 = V, у о =
0, Zq - 0 и заменяя одновременно X', У', Z' с помощью формул (7а),
получаем
|л(33#0 = еХ,
,ДО0 = е(7-?-Л), !ф~о - е [z + - М^.
Эти уравнения являются уравнениями движения электрона для случая, когда в
рассматриваемый момент времени х0 = v, у0 - 0, i0 = 0. В левой части этих
уравнений вместо v можно ввести скорость q, определенную равенством
_____________
Ч = + #о + *о'
а в правой части заменить v на х0. Кроме того, прибавим в соответствующих
местах члены, получаемые из М и -- N циклической перестанов-
С С
кой и обращающиеся в нуль в рассматриваемом частном случае. Опуская
индекс у ж0 и т. д., для рассматриваемого частного случая получаем урав-
85
О принципе относительности и его следствиях
1907 г.
нения, эквивалентные написанным выше,
(И)
здесь введены обозначения:
(12)
Эти уравнения не меняют своей формы, если ввести новую, находящуюся в
относительном покое систему координат с иначе направленными осями.
Поэтому они остаются в силе и в общем случае, а не только при х = z = 0.
Вектор (Кх, Ку, Kz) мы назовем силой, действующей на материальную точку.
В случае, когда величина q2 мала по сравнению с с2, компоненты Кх, Ку, Кг
в соответствии с уравнениями (И) переходят в компоненты силы механики
Ньютона. В следующих параграфах будет показано, что этот вектор и в
других случаях играет такую же роль в релятивистской механике, какую сила
- в классической механике.
Мы будем считать, что уравнения (11) справедливы и в том случае, когда
сила, действующая на материальную точку, имеет неэлектромагнитную
природу. В этом случае уравнения (11) не имеют физического смысла и их
следует рассматривать как определение силы.
Умножая уравнения (5) и (6) по порядку на Х/4 я, Y/4я, . . ., N/ 4л и
интегрируя по объему, на границах которого напряженность электрического и
магнитного полей равна нулю, получаем
9. Движение материальной точки и принципы механики
(13)
80
8
О принципе относительности и его следствиях
где
Ее = Stdr <А"г + уг + Z2) + ш iL* + м% +
есть электромагнитная энергия рассматриваемого объема. В соответствии с
законом сохранения энергии первый член соотношения (13) соответствует
энергии, передаваемой в единицу времени от электромагнитного поля
носителям электрических зарядов. Если электрические заряды жестко связаны
с материальной точкой (электроном), то падающая на них часть этой энергии
дается выражением
где (X, У, Z) означает напряженность внешнего электрического поля, т. е.
поля за вычетом того, которое создается зарядом самого электрона. В силу
уравнений (12) это выражение может быть записано в виде
Таким образом, вектор (Кх, Kv, Kz), названный в предыдущем параграфе
"силой", связан с совершаемой работой так же, как и сила в механике
Ньютона.
Следовательно, если уравнения (И) умножить соответственно на х, у, z,
сложить и проинтегрировать по времени, то в результате должны получить
кинетическую энергию материальной точки (электрона). В самом
деле,
Тем самым показано, что уравнения движения (11) удовлетворяют закону
сохранения энергии. Покажем теперь, что они соответствуют также закону
сохранения количества движения.
Умножая второе и третье из уравнений (5) и второе и третье из уравнений
(6) соответственно на УУ/4я, -М/4л, -ZJ4я, У/4я, складывая и интегрируя
по объему, на границах которого напряженность поля обращается в нуль,
