Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
Akad. Wiss., 1917, 142 (Статья 44)].
631
О гравитационных волнах
1918 г.
Здесь - тензор энергии материи, Т - соответствующий скаляр га37'ар.
Принимая в качестве малых величин п-то порядка величины
а/3
ii-ii степени относительно чу и ограничиваясь в обеих частях уравнения
(2) членами наинизшего порядка, получаем систему приближенных уравнений
sri/d% у , д2Тда д\ос д2Г(tm) \ - 2х (Т -~8 V Т ) (2а)
Щдх2 дх дх^ дх^дха дх дх)~ ^ 2 2j ) '
а ' а г V- / а
1
Умножая это уравнение на -у^у и суммируя по р, и v, получаем
прежде всего (с измененным обозначением индексов) скалярное уравнение
д2Гхос , ЗХр а(3 \ -э - " ¦ р
т
аа*
При сложении этого уравнения, умноженного на 6[XV, с уравнением (2а)
прежде всего сокращается второй член правой части уравнения (2а). Левую
часть удобно записать, вводя вместо чу функции
v, = V,--|а"2т""- (3)
а
Тогда уравнение принимает вид
уд%у д*ч^л . д у д2ГссР = 2пТ . (4)
2л qx 2 2.!dxvdx(X 2jdx^dxa* 2ldxadx^ ^ ' '
oc. 3
Но эти уравнения можно значительно упростить, потребовав, чтобы величины
чу удовлетворяли, кроме уравнения (4), также и соотношениям
sfe=°-
а
На первый взгляд кажется странным, что к десяти уравнениям (4) для десяти
функций у' можно произвольно добавить еще четыре уравнения без того,
чтобы получилась переопределенная система. Однако эта процедура
оправдана, как это видно из следующего рассуждения. Уравнения (2)
ковариантны относительно любых преобразований, т. е. они удовлетворяются
при любом выборе системы координат. Если ввести новую систему координат,
то величины gy новой системы будут зависеть от четырех произвольных
функций, определяющих преобразование координат.
"32
49
О гравитационных волнах
Но эти четыре функции можно выбрать так, чтобы величины g^ новой системы
удовлетворяли четырем произвольно заданным соотношениям. Пусть эти
соотношения выбраны так, что они в интересующем нас приближении переходят
в уравнения (5). Последние означают, следовательно задаваемое нами
условие выбора системы координат. Согласно уравнению (5), получаем вместо
(4) простые уравнения
Из последних уравнений видно, что гравитационные поля распространяются со
скоростью света. Величины можно вычислить по заданным с помощью
запаздывающих потенциалов. Если х, г/,2, / - вещественные координаты
точки наблюдения, хг, х2, х3, ~ , в которой должны быть вычислены
величины аж0, г/0, z0 - пространственные координаты элемента объема dV0 и
г - пространственное расстояние между d,V0 и точкой наблюдения, то
§ 2. Компоненты энергии гравитационного поля
Ранее 3 я приводил в явном виде компоненты энергии гравитационного поля
для случая, когда выбор координат соответствует условию
Однако при новом выборе координат это условие, вообще говоря, не
выполняется. Поэтому проще всего определить здесь компоненты энер гии,
отдельно рассматривая каждую из них.
При этом, однако, надо иметь в виду следующую трудность. Наши урав нения
поля (6) справедливы лишь до величин первого порядка включительно, в то
время как уравнения энергии, как легко убедиться,- до величин второго
порядка малости. Тем не менее, мы легко достигаем цели
(6>
S'= 1^1 = 1,
которое в рассматриваемом здесь приближении имело бы вид
а
3 См. формулу (50) в статье: A. Einstein. Arm. Phys., 1916, 49, 769
(Статья 38)
633
О гравитационных волнах 1918 г.
с помощью следующего рассуждения. Согласно общей теории, компоненты
энергии (материи) и (гравитационного поля) удовлетворяют соотношениям:
дХ°. 1 _ dspa
О ро
Отсюда следует
v54±ii=0
Zj дх.
V К _ I у
.Zj 2 2л дх"
Р-ре
Если правую часть последнего равенства привести к форме, которую имеет
левая часть, исключая ?ро с помощью уравнений поля, то получим компоненты
t°. В правой части этого равенства в случае рассматриваемого нами
приближения оба сомножителя являются величинами первого порядка малости.
Следовательно, для получения компонент с точностью до величин второго
порядка малости достаточно подставить вместо обоих сомножителей правой
части равенства их значения с точностью лишь до величин первого порядка
малости. Итак, можно заменить
dgpa
дх~ На ~ дхл
?ро на ТР0-
Далее, введем вместо аналогичные по характеру индексов величинам Тро
величины tpa, значения которых при требуемой здесь степени приближения
отличаются от tp только знаком.
Таким образом, нужно определить величины tm из уравнения
<8>
О U.
О ро
Преобразуем правую часть этого уравнения, учитывая, что, согласно (3),
следует подставить
Гр." = V - Т 6а" 2 = г;" - J бр.г' (За)
634
49
О гравитационных волнах
и выразить Тра через ур0 согласно (6). После простого преобразования
получаем 4
X1 VI J_ / Vl/ дта|3
.Zj 3:г_ Z-J 3a?_ 4х \ Z-A Зж, Зж_ ) 2 дх.. дх
п ° Л ° . ' пг Д Iх °
3Та05Та0\ 1 ду' ду'
а|3
8х
'а|ЗХ
Отсюда следует, что закону сохранения энергии можно удовлетворить,
положив
-Щ'?)-*<wfeIS?)'-42"У). "
*Р аРХ X
Физический смысл величины проще всего уяснить путем следующего
рассуждения. Величины t^a играют для гравитационного прля ту же роль,
