Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
относительно К, с точки зрения К'. Чтобы знать, как ведут себя точки оси
X', с точки зрения системы К, нам надо лишь сделать "моментальный снимок"
системы К' из системы К; это значит, что вместо t (время системы К) мы
должны подставить некоторое определенное значение его,
589
О специальной и общей теории относительности
1917 г.
например, t = 0. Тогда из первого уравнения (5) получим
х' ах.
Следовательно, две точки оси X', расстояние между которыми при измерении
в системе К' равно 1 (Ax' = 1), на нашей моментальной фотографии
находятся на расстоянии
Ах - - . (7)
а у '
Но если моментальный снимок делается из системы К' (t' - 0), то,,
исключая t из уравнений (5) при помощи равенства (6), получаем
х' = а ^1 х.
Отсюда заключаем, что две точки на оси X, находящиеся на
расстоянии, равном единице (относительно К), на нашей
моментальной фотогра-
фии разделены расстоянием
Ах'-- а (1--------. (7а)
Так как, согласно сказанному выше, обе моментальные фотографии должны
быть идентичны, то Ахъ соотношении (7) должно быть равно Ах' в
соотношении (7а), так что получаем
1
1 - (ог/с%) ' '
Равенства (6) и (76) определяют постоянные аиЪ. Подставляя выражения для
а и Ь в уравнения (5), получаем первое и четвертое уравнения, приведенные
в § 11:
. X vt \
QQ = _______ -- I
/1 -(г>а/с2)'
Г (8)
f - 1 ~ М6'2)х )
•
Итак, мы получили преобразование Лоренца для событий на оси X. Оно
удовлетворяет условию
х'2 - cY2 = х2 - сЧ2. (8а)
Распространение этого результата на события, происходящие вне оси X,
достигается сохранением уравнений (8) и добавлением уравнений
У = У.
z = z
; } (я>
590
43
О специальной и общей теории относительности.-
При этом постулат постоянства скорости света в пустоте остается в силе
для световых лучей любого направления как для системы К так и для системы
К'. Это можно показать следующим образом.
Пусть в момент времени t ~ 0 из начала координат системы К посылается
световой сигнал. Он будет распространяться согласно уравнению
г = х2 + Уг + z2 - ct, или, после возведения этого уравнения в квадрат,
х2 у2 -f- z2 •- c2t2 = 0. (10)
Закон распространения света в соединении с постулатом относительности
требует, чтобы упомянутый сигнал - при наблюдении из системы К' -
распространялся согласно формуле
г' - ct',
или
х2 -j- у'2 -f- z'2 - c2t'2 = 0. (10а)
Чтобы уравнение (10а) было следствием уравнения (10), должно выполняться
соотношение:
ж'2 -}- у'2 -)- z'2 - сЧ'2 = б (ж2 + у2 -j- Z2 - c2t2). (11)
Так как для точек на оси X должно выполняться уравнение (8а), то* о = 1.
Легко убедиться, что преобразование действительно удовлетворяет
соотношению (11) при о = 1; именно, соотношение (11) является следствием
соотношения (8а) и уравнений (9), а следовательно, и уравнений (8) и (9).
Тем самым преобразование Лоренца выведено.
Преобразование Лоренца, выраженное уравнениями (8) и (9), еще должно быть
обобщено. Очевидно, несущественно, что координатные оси системы К были
выбраны пространственно параллельными осям системы К'. Несущественно
также, что скорость равномерного и прямолинейного движения системы К'
относительно К имела направление оси X. Из простого рассуждения следует,
что в этом общем случае преобразование Лоренца можно составить из двух
преобразований, а именно: из преобразований Лоренца для частного случая и
из чисто пространственных преобразований, которые соответствуют переходу
от одной прямоугольной системы координат к другой, с иным направлением
осей.
Обобщенное преобразование Лоренца характеризуется математически таким
образом.
Оно выражает переменные ж', у\ z', V как такие однородные линейные
функции переменных х, у, z, t, что тождественно выполняется соотношение
х'2 -|- у'2 -j- z'2 - c2t'2 - х2 -f- у2 z2 •- сЧ2. (11a)
591
-О специальной и общей теории относительности
1917 г.
Это означает: если в левую часть последнего равенства вместо ж', у', z',
f подставить их выражения через ж, у, z, t, то левая часть равенства
(11а) совпадет с правой.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
Четырехмерный мир Минковского (Дополнение к § 17)
Обобщенное преобразование Лоренца может быть охарактеризовано еще проще,
если вместо t как переменной времени ввести мнимую величину V- 1 ct. Если
в соответствии с этим положить
хх - X, ж2 = у,
Х3 = Z,
Х4 = У -let,
и аналогично для системы К', то условие, которому преобразование
тождественно удовлетворяет, будет иметь вид
хх -f- xi -f- х3 -j- ж4 = хх -(- х\ -(- х3 -|~ х4. (12)
Именно в это соотношение переходит соотношение (11а) при указанном выборе
"координат".
Из соотношения (12) видно, что мнимая временная координата х4 и
пространственные координаты х\, хч, х3 входят в него симметрично. На этом
основании, согласно теории относительности, "время" ж4 входит в выражение
законов природы в такой же форме, что и пространственные координаты XI,
ж2, ж3.
Четырехмерный континуум, описываемый "координатами" xi, хч, х3, ж4,
Минковский назвал "миром", а событие в данной точке - "мировой точкой".
