Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
числам между 1 и 2. Тогда получается система и-кривых, которые бесконечно
плотно покрывают всю поверхность стола. Ни одна кривая и не должна
пересекать другую; через каждую точку поверхности стола проходит одна и
только одна кривая. Тогда каждой точке поверхно-
20 Математики формулируют нашу задачу следующим образом. Если в
трехмерном эвклидовом метрическом пространстве дана некоторая
поверхность, например эллипсоид, то на этой поверхности, так же как на
плоскости, выполняется двумерная геометрия. Гаусс поставил перед собой
задачу исследовать эту двумерную геометрию, не предполагая, что
поверхность принадлежит эвклидову континууму трех измерений. Если на этой
поверхности осуществляются построения из жестких линеек (аналогичные
описанному выше построению на поверхности стола), то для этих построений
выполняются уже иные законы, отличные от законов эвклидовой геометрии на
плоскости. Поверхность не будет эвклидовым континуумом в отношении
линеек, и на поверхности нельзя определить декартовы координаты. Гаусс
показал, на каких принципах может быть основана трактовка геометрических
соотношений на поверхности, и тем самым указал путь к риманову методу
исследования многомерных неэвклидовых континуумов. Таким образом,
математиками уже давно решены формальные проблемы, к которым приводит
общий принцип относительности.
573
О специальной и общей теории относительности
1917 г.
сти стола соответствует совершенно определенное значение и. Начертим на
той же поверхности систему н-кривых, которые удовлетворяют тем же
условиям и обозначены соответствующим образом числами, но также могут
иметь произвольную форму. Тогда каждой точке поверхности стола
соответствует одно значение и и одно значение v; эти два числа мы назовем
координатами поверхности стола (гауссовы координаты). Например"
Рис.
точка Р на рис. 3 имеет гауссовы координаты и - 3; v = 1. Тогда две
соседние точки Р и Р' на поверхности соответственно имеют координаты
и, v
и
и -f- du, v -f- dv,
где du и dv означают весьма малые числа. Расстояние между Р и Р',
измеренное линейкой, также является весьма малым числом ds. Тогда
согласно Гауссу, мы имеем
ds2, = gndu2 + 2 gl2dudv -\-g22dv2,
где gu, gi2, g22 - величины, которые вполне определенным образом зависят
от и и v. Величины gu, g12 и g22 определяют поведение линеек по отношению
к и-кривым и гнкривым, а следовательно, по отношению к поверхности стола.
Только в том случае, когда точки рассматриваемой поверхности образуют
эвклидов континуум (по отношению к измерительным линейкам), можно
начертить и-кривые и н-кривые и приписать им числа таким образом, что
ds2 = du2 + dv2.
В этом случае и-кривые и гнкривые становятся прямыми линиями в смысле
эвклидовой геометрии, причем перпендикулярными друг другу. Здесь гауссовы
координаты являются просто декартовыми координатами. Гауссовы координаты,
очевидно, и естр сопоставление точке рассматриваемой поверхности пары
чисел, причем такое, что очень мало различающим-
571
43
О специальной и общей теории относительности
ся численным значениям однозначно соответствуют соседние точки в
пространстве.
Это рассуждение применимо прежде всего к двумерному континууму. Но метод
Гаусса может быть применен также к континууму трех, четырех и более
измерений. Если, например, имеется четырехмерный континуум, мы можем
представить его следующим образом. Каждой точке континуума мы произвольно
ставим в соответствие четыре числа хг, х2, #3, х4, которые называются
"координатами". Соседние точки соответствуют соседним значениям
координат. Если соседним точкам Р и Р' сопоставлено расстояние ds,
измеренное и вполне определенное с физической точки зрения, то
выполняется следующая формула:
ds2 = gudxi -j- 2g12dx1dx2 -{-••• -f- g&idx&,
где величины gn и т. д. имеют значения, которые изменяются от точки к
точке в континууме. Лишь в том случае, когда континуум является
эвклидовым, координаты хх, х2, х3, х± можно связать с точками континуума
так, что мы получаем формулу
ds2 = dxf + dx\ + dx23 + dx\.
Тогда в четырехмерном континууме выполняются соотношения, которые
аналогичны соотношениям, справедливым для измерений в трехмерном
пространстве.
Правда, приведенная выше гауссовская трактовка ds2 не всегда возможна;
она возможна лишь в том случае, когда достаточно малые области
рассматриваемого континуума можно считать эвклидовыми континуумами.
Например, это осуществляется, очевидно, в случае неравномерно нагретой
доски стола, температура которой изменяется в зависимости от места.
Температура малой части доски стола практически постоянна, и таким
образом геометрические свойства линеек почти такие, какими они должны
быть в соответствии с правилами эвклидовой геометрии. Следовательно,
указанные в предыдущем параграфе затруднения в построении квадратов не
проявятся четко до тех пор, пока это построение не распространено на
значительную часть поверхности стола.
Резюмируя, мы можем сказать следующее: Гаусс предложил ме-
