Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эйнштейн А. -> "Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1" -> 181

Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.

Эйнштейн А. Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 — М.: Наука, 1965. — 702 c.
Скачать (прямая ссылка): sobranienauchnihtrudovt11965.djvu
Предыдущая << 1 .. 175 176 177 178 179 180 < 181 > 182 183 184 185 186 187 .. 263 >> Следующая

могут принимать любые значения; это означает, что могут встречаться любые
скорости
18 Ср. статью 51.- Ред.
498
38
Основы общей теории относительности
меньшие скорости света в пустоте (у<^1). Если ограничиться случаем,
который почти всегда встречается на опыте, когда v мало по сравнению со
скоростью света, то это будет означать, что компоненты
dx1 dx2 dx3
ds ' ds ' ds
dx±
должны рассматриваться как малые величины, в то время как
ds *
с точностью до величин второго порядка, равно 1. (Вторая предпосылка
приближенного решения основных уравнений.)
Теперь примем во внимание, что, согласно первой предпосылке нашего
приближения, все представляют собой малые величины
по крайней мере первого порядка. Но отсюда следует, что в выражении (46),
согласно второму предположению, должны быть учтены только члены с р = v =
4. Ограничиваясь членами низшего порядка, мы вместо (46) получаем сначала
следующие уравнения:
d2x
т __ -рт
-д1- - 1 44"
причем ds = dxi = dt. Беря только члены первого порядка, получаем
d2x_ Г44
dt2
d2x 4 dt2
T
(т = 1, 2, 3),
Если, кроме того, предположить, что гравитационное поле квазистатич-но,
т. е. ограничиться тем случаем, когда материя, создающая гравитационное
поле, движется медленно (по сравнению со скоростью распространения
света), то в правой части можно пренебречь производными по времени по
сравнению с производными по пространственным координатам; таким образом,
получается
тг--4-а?г (т-1.2,3). (67)
Это и есть уравнение движения материальной точки в теории Ньютона,
СГ. м
причем играет роль гравитационного потенциала. Этот результат замечателен
тем, что только одна компонента g44 фундаментального тензора определяет в
первом приближении движение материальной точки.
Обратимся теперь к уравнению поля (53). При этом должно быть принято во
внимание, что тензор энергии "материи" определяется почти исключительно
плотностью материи р в более узком смысле этого слова,
32* 40"
Основы общей теории относительности
1916 г.
т. е. вторым членом правой части (58) [и, соответственно, (58а) или
(586)]. В интересующем нас приближении все компоненты, кроме Г44 = р - Т,
обращаются в нуль. В левой части уравнения (53) второй член представляет
собой величину второго порядка малости; первый же член в интересующем нас
приближении принимает вид
д
дх\
+
дх*
р V 2
+
дх*
р v 3
д
dxi
р V
4
Это выражение при р = v = 4 и при отбрасывании производных по времени
переходит в
+
дх\
+
дх1
=-------o-Ag44.
Таким образом, последнее из уравнений (53) может быть записано в виде
A gu = ир. (68)
Уравнения (67) и (68), вместе взятые, эквивалентны закону тяготения
Ньютона.
Для гравитационного потенциала на основании уравнений (67) и (68)
получается выражение
<68а>
тогда как теория Ньютона при выбранной нами единице времени дает для этой
величины выражение
К г рс?Т
где К - обычная гравитационная постоянная, равная 6,7-10 8. Из сравнения
обоих выражений получается
и= (r)^ = 1,87-10"27. (69)
§ 22. Свойства масштабов и часов в статическом гравитационном поле.
Искривление лучей света.
Движение перигелия планетных орбит
Чтобы получить теорию Ньютона как первое приближение, нам пришлось из 10
компонент гравитационного потенциала g^ вычислить только g44, так как
только эта компонента входит в полученное в первом приближении уравнение
движения (67) материальной точки в гравитационном поле. Но и другие
компоненты g^ должны в первом приближении отличаться от значений, данных
в (4), так как все они связаны условием g= -1.
500
38
Основы общей теории относительности
Для материальной точки, создающей поле и находящейся в начале координат,
получается в первом приближении радиально симметричное решение:
s хоха (р и а принимают значения
?ра=-вр"-"- от 1 ДО 3),
gP4 = gip = 0 (р принимает значения от 1 до 3), (70)
/I а
844 = 1 " ,
где бРв равно соответственно 1 или 0, в зависимости от того, будет ли р =
сг или р =^= сг, а
Г = -\-~V х 1 "Ь #2 При этом, в силу выражения (68а), имеем
хМ /пп .
= ~Ы~ ' </0а>
где через М обозначена масса, создающая поле. Легко проверить, что это
решение удовлетворяет уравнениям поля (вне массы) в первом приближении.
Исследуем теперь воздействие, которое испытывают метрические свойства
пространства от поля массы М. Между "локально" измеренными (см. § 4)
длинами и промежутками времени ds, с одной стороны, и приращениями
координат dxv - с другой, всегда имеется соотношение:
ds2 = g^dx^dxv.
Так, например, для единицы масштаба, расположенной "параллельно" оси х,
следует написать:
ds2 = - 1, dx2 = dx3 = dXi = 0,
т. e.
- 1 = gndx i.
Если единица масштаба, кроме того, лежит на самой оси х, то первое из
уравнений (70) дает
?11 = - 1 +
а г
Из обоих последних соотношений следует в первом приближении
= (71)

Итак, если единичный масштаб приложен в радиальном направлении, то в
рассматриваемой координатной системе, благодаря наличию грави-
501
Основы общей теории относительности
Предыдущая << 1 .. 175 176 177 178 179 180 < 181 > 182 183 184 185 186 187 .. 263 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed