Собрание научных трудов в четырех томах. Том 1 - Эйнштейн А.
Скачать (прямая ссылка):
Основы общей теории относительности
1916 г.
Положим:
рг з = ^ Fi4 = _e;i
/(tm) = Й, F^ = -e'y,\ (64)
F12 = fc, F34 = - е'г. j
Эти величины в частном случае специальной теории относительности равны
соответственно величинам f)x, ..., ег. Далее, положим:
Il = ix, Л = Я = (2, в = р.
Тогда вместо (63) получим
I (63а)
div е' = p. J
Уравнения (60), (62), (63) представляют собой обобщение максвелл о-вых
уравнений поля в пустоте при сделанном допущении относительно выбора
координат.
Компоненты тензора энергии электромагнитного поля. Образуем внутреннее
произведение
ка = FQV.I*. (65)
Его компоненты, написанные согласно (61) в трехмерных обозначениях имеют
вид
*1 = ре* + [Е $]*, ]
.................| (65а)
х4 = -(i,e). j
Величина ка представляет собой ковариантный 4-вектор, компоненты которого
с обратным знаком равны импульсу, или, соответственно, энергии, которые
переносятся с электрических зарядов на электромагнитное поле в единицу
времени и в единице объема. Если электрические заряды свободны, т. е.
если они находятся под влиянием одного только электромагнитного поля, то
ковариантный 4-вектор ка обращается в нуль.
Чтобы получить компоненты энергии Та электромагнитного поля, достаточно
уравнению ка = 0 придать вид уравнения (57). Тогда из (63) и (65) сначала
получим
^ dXv - дхw * дх^'
Второй член в правой части, в силу (60), может быть преобразован сле-
496
38
Основы общей теории относительности
дующим образом: dl
F^ =_______________?_ pv-v -_______L. ev-a.pv$ F
дх" 2 дх" 2 S ё а* дх
dF \ dF \ dF
ОН- 1 nav uv 1 ..о -п г P-V
а
Из соображений симметрии последнее выражение может быть записано также и
в виде
1 "" dF dF
g**g*F.e
a a
Но вместо этого можно написать
-44(g^agv0^ai3jPij'v)+4 4a (^ал-
Первый член этого выражения можно представить в виде
Второй член после выполнения дифференцирования и некоторого
преобразования принимает форму
L f^xf s^d-
2 Г дха •
Объединяя все три вычисленные члена, получаем соотношение
dTv 1 дв
*• = ¦?-Т*" 4% Г" (66)
причем
П = - FmFwa + 4- 6"f""F^- (66а>
Равенство (66) при х0, равном нулю, в силу (30), эквивалентно (57) или,
соответственно, (57а). Следовательно, Tl представляют собой компоненты
энергии электромагнитного поля. При помощи равенств (61) и (64) легко
показать, что эти компоненты энергии электромагнитного поля в случае
специальной теории относительности составляют известные выражения
Максвелла - Пойнтинга.
Итак, мы вывели самые общие законы, которым удовлетворяют гравитационное
поле и материя, пользуясь при этом координатной системой, вкоторойф^-g -
1. Благодаря этому мы значительно упростили формулы и расчеты, не
отказываясь в то же время от требования общей ковариантности, ибо мы
вывели наши уравнения из общековариантных уравнений, выбирая лишь
специальным образом координатную систему.
32 а. Эйнштейн, том I 497
Основы общей теории относительности
1916 г.
Все же не лишен формального интереса вопрос, остаются ли в силе законы
сохранения (импульса и энергии), а также уравнения гравитационного поля,
представленные в виде уравнений (56) и, соответственно, (52) или (52а), в
которых слева стоит дивергенция (в обычном смысле), а справа- сумма
компонент энергии материи и гравитационного поля, в том случае, когда при
соответственно обобщенном определении компонент энергии гравитационного
поля и материи не делается специального выбора координатной системы. Я
нашел, что это действительно так. Однако я полагаю, что изложение
довольно длинных рассуждений по данному вопросу нецелесообразно,
поскольку при этом ничего существенно нового
1 ft
не получается18.
Д. § 21. Теория Ньютона как первое приближение
Как уже упоминалось много раз, специальная теория относительности,
рассматриваемая как частный случай общей теории относительности,
характеризуется тем, что имеют постоянные значения (4). Согласно
изложенному выше, это означает полное пренебрежение гравитационными
действиями. Более близкое к действительности приближение мы получаем,
рассматривая случай, когда все gyv отличаются от значений (4) лишь на
малые (по сравнению с 1) величины; при этом мы пренебрегаем малыми
величинами второго и более высоких порядков. (Первая предпосылка
приближенного решения основных уравнений.)
Далее, допустим, что в рассматриваемой пространственно-временной области
при надлежащем выборе системы координат величины в пространственной
бесконечности стремятся к значениям (4); это значит, что мы рассматриваем
гравитационные поля, которые могут считаться созданными только материей,
находящейся в конечной области пространства.
Можно было бы думать, что упомянутые пренебрежения должны привести к
теории Ньютона. Однако для этого в основных уравнениях требуется сделать
некоторые приближения еще и с другой точки зрения. Рассмотрим движение
материальной точки, удовлетворяющее уравнениям (46). В случае специальной
теории относительности компоненты
dx 1 dx2 dxз
ds ' ds ' ds
